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Si dimostri che, dato un qualsiasi intero $ a>1 $, esistono infiniti primi p tali che:

$ \displaystyle v_p(a^{ord_p(a)}-1)\equiv 1 \pmod 2 $

Dove $ v_p(\cdot ) $ e' la massima potenza di p che divide la roba tra parentesi, e $ ord_p(\cdot ) $ e' il piu' piccolo esponente positivo a cui bisogna elevare la roba tra parentesi per renderla congrua a 1 modulo p.

Buon lavoro.

UP!

(dai gente, mattilgale dice che e' bello bao)

Io intanto riscriverei la tesi come:
$ ~ ( v_2 ^2 \circ v_p ) $ $ ~ ( a^{\mbox{ord}_p(a)}-1) $$ = \infty $

Vabeh, non posso prendere così in giro un topic e lasciarlo al suo destino! Quindi ecco la soluzione

Partiamo dal noto lemma: se a,b sono interi coprimi, e ab è un quadrato, allora a,b sono entrambi quadrati. Questo si generalizza allo stesso modo se a,b sono razionali.

Ora supponiamo che p sia un primo grande che non divide a-1. Allora è ben noto che $ ~ \frac{a^p-1}{a-1} $ e $ ~ a-1 $ sono relativamente primi. Quindi $ ~ \frac{a^p-1}{a-1} $ è un quadrato perfetto, per il nostro criterio, se e soltanto se $ ~ a^p-1 $ è un quadrato perfetto, ma questo non lo è mai, perchè p è grande e per il lemma di piever ---> viewtopic.php?t=8192

Quindi, $ ~ \frac{a^p-1}{a-1} $ non è un quadrato perfetto, ma, per ogni primo q che lo divide:
- se q divide $ ~ a^k - 1 $ per k < p, allora divide a-1, ma $ ~ \frac{a^p-1}{a-1} $ e a-1 sono coprimi.
- quindi se q divide quello, allora $ ~ \mbox{ord}_q(a) = p $
E siccome quella roba non è un quadrato perfetto, c'è un q che lo divide con esponente dispari.

Sappiamo che i primi grandi che non dividono a-1 sono infiniti. E se p,q sono primi di questo tipo, e $ ~ r \mid \frac{a^p-1}{a-1} $ e $ ~ r \mid \frac{a^q-1}{a-1} $... ecco, questo è impossibile per i soliti lemmi sui gcd di formule di questo tipo.

Quindi i primi p per cui $ ~ (v_p \circ v_2^2) (a^{\mbox{ord}_p(a)}-1) = \infty $ sono infiniti.

edriv ha scritto:Ora supponiamo che p sia un primo grande che non divide a-1. Allora [...] $ ~ \frac{a^p-1}{a-1} $ non è un quadrato perfetto.

Corollario: $ \displaystyle\frac{3^5-1}{3-1} $ non e' un quadrato perfetto

Non pensavo fosse possibile scrivere più cazzate nel quarto post che nel terzo