OliForum Matematico

Bel problema! Lancio un paio di domande di cui non immagino neanche lontanamente la risposta: che curva descrivono le tre lumache? Se la loro velocità è v, quale sarà la loro velocità angolare rispetto al baricentro dopo t?

Tu lanci e io spezzo ... la domanda passa di diritto in matematica non elementare.

EvaristeG ha scritto:Tu lanci e io spezzo ... la domanda passa di diritto in matematica non elementare.

Me lo aspettavo!

Et voilà!

Ma non è la celebre spirale logaritmica? Mi pare di ricordare un problema simile... Ovviamente non so dimostrarlo assolutamente...

Beh ... sì. E' la spirale logaritmica.
Infatti, proprio grazie alla faccenda del baricentro fisso, che chiamiamo G, se A(t), B(t), C(t) sono le posizioni delle lumache al tempo t, avremo che la tangente alla curva in A(t) (ovvero la velocità all'istante t della lumaca partita da A) sarà diretta lungo $ A(t)B(t) $ e dunque l'angolo $ G\widehat{A(t)}B(t) $ è costante e vale 30°.
Quindi, ponendo un sistema di coordinate polari piane con origine in G, se consideriamo due punti A(s) e A(t) con s<t, avremo che
$ \displaystyle{\lim_{s\to t}A(s)\widehat{A(s)}G=30^\circ} $
e dunque si avrà
$ GA(s)-GA(t)\sim GA(t)\cdot A(t)\widehat{G}A(s)\cdot\cot(30^\circ) $
ovvero
$ \displaystyle{\frac{GA(s)-GA(t)}{A(t)\widehat{G}A(s)}\sim GA(t)\cdot\cot(30^\circ)} $
e passando al limite
$ \displaystyle{\frac{dr}{d\theta}=r\cot(30^\circ)} $
da cui
$ r=Ce^{\theta\cot(30^\circ)} $
che è proprio la spirale logaritmica.

Ecco mi aspettavo una risposta simile. Io mi ero semplicemente fermato a ipotizzare come potesse essere la curva e ad immaginare che la curva fosse una curva ''particolare''. Dopo ovviamente per arrivare alla risposta di EvaristeG mi mancano ancora un po' di anni di studio e magari anche del talento comunque grazie a tutti quelli che hanno scritto su questo topic

Gulp! mi son perso quando sono iniziate le $ \sim $ e le $ cot $

comunque http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... ght=#61633

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:comunque http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... ght=#61633

Avrei detto che non si incontrano, ma che si rincorrono all'infinito sempre più vicine. Cmq lì c'è scritto di no, ed è rimasta aperta la domanda:

bh3u4m ha scritto:Si incontrano? se si', quanto tempo ci mettono?

Beh, mettiti nel sistema di riferimento di una lumaca; il suo bersaglio (un'altra lumaca) si avvicina a velocità w=v+v/2, quindi si incontreranno dopo l/w secondi.
Dove l è il lato del triangolo equilatero. Lo stesso vale per le altre coppie inseguitrice inseguita, quindi si incontrano tutte nel baricentro, che è sempre fisso.

Per spiegare meglio quel che ho fatto, facciamo così:
Siano A(s) e A(t) due posizioni successive della lumaca inizialmente in A.
Sia M la proiezione di A(t) su GA(s). E siano $ \psi=A(t)\widehat{G}A(s) $, $ \alpha=G\widehat{A(t)}B(t) $
Allora $ GM=GA(t)\cdot\cos\psi $.
Ora,
$ GA(s)-GM=GA(s)-GA(t)\cdot\cos\psi=MA(s)\cdot\cot(G\widehat{A(t)}A(s)) $
Si ha che $ MA(s)=2GA(s)\sin(\psi/2) $ (in quanto la lumaca si avvicina al centro) per s,t abbastanza vicini.
Dunque
$ \displaystyle{\frac{2GA(s)\sin(\psi/2)\cot(G\widehat{A(t)}A(s))}{\psi}=\displaystyle\frac{GA(s)-GM}{\psi} $
ovvero
$ \displaystyle{\lim_{s\to t} \frac{2GA(s)\sin(\psi/2)\cot(G\widehat{A(t)}A(s))}{\psi}=\lim_{s\to t}\frac{GA(s)-GM}{\psi}} $$ \displaystyle{=\lim_{s\to t}\frac{GA(s)-GA(t)\cos(\psi)}{\psi}=\frac{dr}{d\theta}} $
E il primo limite da
$ \displaystyle{r\cot(\alpha)} $
in quanto $ (2\sin(\psi/2)/\psi\to 1 $ e $ G\widehat{A(t)}A(s)\to\alpha $ (ovvero l'angolo tra il raggio vettore e la tangente).
Dunque si ha l'equazione differenziale $ dr/d\theta=r\cot\alpha $ che si risolve separando le variabili e integrando:
$ \int_{r(0)}^{r(\theta)} dr/r=\int_0^\theta \cot\alpha d\theta $
quindi
$ \log r + C=\theta\cot \alpha $
ovvero
$ r=Ke^{\theta\cot\alpha} $.
Spero che così sia più chiaro.