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Esistono funzioni $ ~ f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ $ tali che $ ~ yf(xf(y)) = f(x) $ per ogni $ ~ x,y \in \mathbb{Q}^+ $ ?

Si direbbe di no.

x=1 implica $ f(f(y))=\frac{f(1)}{y} $

y=f(x) implica $ f(x) f(1) = f(x) \rightarrow f(1)=1 $, dunque $ f(f(x))=\frac1x $.

y=f(z) implica $ f(z)f(x/z)=f(x) $, cioè $ f(z)f(a)=f(za) $ (tanto posso sempre dividere, visto che sono razionali positivi).

Quindi l'amica è una Cauchy di quelle che si vedono poco, soluzione $ f(x)=x^c $. Ma sostituendo in quella originale viene $ y^{c^2+1}=1 $ che non ha molte soluzioni reali per c.

Ciao (sperando di non dire cretinate!)

uhm, purtroppo è sui razionali... Sai bene che possono essere brutte quanto vogliono, se non hai ipotesi di alcun tipo (tipo monotonia, derivabilità limitatezza, continuità ecc...

Infatti per questo problema posso costruire una funzione "che funziona", anzi ne so costruire infinite...

Visto che è moltiplicativa, mi serve definirla solo sui primi e poi avrò fissato tutto. Ora non voglio farle tutte ma solo una classe infinita... Osservo innanzitutto che se $ f(p) $ con $ p $ primo contiene se stesso allora potrei avere un po' di rogne (ad esempio se $ f(p)=p $ non funzionerebbe). Quindi faccio che $ f(p)=q $ con $ q $ un altro primo. Immaginando un po' come possa andare prendo l'insieme dei numeri primi $ \mathbb{P} $ e lo partiziono in due insiemi (disgiunti): $ \mathbb { P } = \left\{ p_1 , p_2 ,.... \right\} \cup \left\{ q_1 , q_2 ,. ... \right\} $ e impongo:
$ f(p_i)=q_i $
$ f(q_i)=\frac 1{p_i} $
A questo punto resta solo la verifica che questa funzione "funziona"...

darkcrystal ha scritto: Quindi l'amica è una Cauchy di quelle che si vedono poco, soluzione $ f(x)=x^c $.

Nossignore questo problema non si fa coi cannoni

ok a Simo

Simo_the_wolf ha scritto:Visto che è moltiplicativa, mi serve definirla solo sui primi

Cosa significa moltiplicativa? Da cosa lo vedi? Come si può definirla sui numeri non primi?

È moltiplicativa vuol dire che soddisfa $ ~ f(xy) = f(x)f(y) $.
Basta definire il suo valore sui numeri primi per definirla su tutti i numeri interi o razionali. Infatti per ogni razionale, scomposto in modo unico come:
$ ~ q = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n} $, con i vari p primi e i vari e interi, avremo:
$ ~ f(q) = f(p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}) = f(p_1)^{e_1}f(p_2)^{e_2}\cdots f(p_n)^{e_n} $.

Grazie, avevo supposto che potesse avere quel significato. Applicando però questa definizione, il primo membro diventa $ y f(x) f(f(y)) $ che non è il secondo membro: su cosa ti sei basato per dire che è moltiplicativa?

L'ha dimostrato darkcrystal che è moltiplicativa, guarda la sua (inizialmente ) soluzione.