OliForum Matematico

Dimostrare che, dati due poligoni convessi e disgiunti, esiste una retta disgiunta da entrambi che li separa.

Che li separa vuol dire uno sta in un semipiano, e l'altro nell'altro semipiano.


Il primo che dice "ma è ovvio" si dimostra solo con simboli logici la generalizzazione di questo problema a "insiemi chiusi e convessi in n dimensioni"!!!

l'asse del segmento di minima distanza

Ok, avevo una dimostrazione completamente diversa ma purtroppo il trucchetto di Gabriel funziona

Bel trucco! ora sarebbe anche bello trovarle tutte (ma al contrario mi sa che la soluzione è brutta), cmq intanto banalmente allargo a tutte le perpendicolari che intersecano il segmento di minima distanza non in uno degli estremi.

Il problema piuttosto è: che vuol dire trovarle tutte?

Comunque volendo questo ragionamento funziona anche nella generalizzazione.

edriv ha scritto:Il problema piuttosto è: che vuol dire trovarle tutte?

intendevo trovare più criteri soddisfatti solo dalle rette che separano i due poligoni, ma mi sa che sono molti e complicati, x quello che dicevo che probabilmente la sol è brutta

Beh il criterio più importante è che r separa i poligoni se e soltanto se le proiezioni dei poligoni su ogni perpendicolare ad r si intersecano. (e questo è parte della mia dimostrazione).

Così abbiamo il corollario: se due poligoni (o compatti) convessi si intersecano in ogni proiezione, allora si intersecano.

Dimostrare anche che esiste una retta tale che la proiezione di un poligono sulla retta contiene la proiezione dell'altro poligono sulla retta. (e anche qua funziona il trucco)

Uhm, avevo pensato anch'io alla soluzione di gabriel, ma non so se posso dare per buono che dati due insiemi chiusi dell'iperspazio, esiste una coppia di punti che minimizza la distanza..

Come si dimostra?

Il modo più facile dovrebbe essere il teorema di Weierstrass (è questo?), per cui una funzione continua definita su un compatto assume massimo e minimo.

Volendo però si fa anche a mano, prendendo l'inf o il sup dell'immagine, e vedendo che deve appartenere all'immagine tipo aggiungendo pezzetti di linea.

Beh, non sono sicurissimo, ma credo che sia Weierstrass, infatti sembra l'esatta generalizzazione del teorema omonimo che si studia (non sempre) per lo spazio a due dimensioni nel programma di analisi di V...