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dimostrare che l'angle brocard non supera 30°.



NB L'"angle brocard"k è definito come cotg(k)=cotg(a)+cotg(b)+cotg(c) dove a, b, c sono gli angoli di un triangolo

$ \displaystyle cot A + cot B + cot C = \frac{sin(A+B)}{sinAsinB} + cot C = \frac{sinC}{sinAsinB} $$ \displaystyle + \frac{cosC}{senC} \ge \frac{2sinC}{1+cosC}+ \frac{cosC}{senC} $$ \displaystyle = \frac{2sinC}{1+cosC} - \frac{sinC}{2(1+cosC)}+ \frac{cosC}{senC}+\frac{sinC}{2(1+cosC)} $$ \displaystyle = \frac{3sinC}{2(1+cosC)}+\frac{2cosC(1 + cosC) + sen^2C}{2senC(1+cosC)} $$ \displaystyle = \frac{3sinC}{2(1+cosC)}+\frac{cosC+1}{2senC} \ge \sqrt{3} $ (AM-GM)

Due cose di stile: e non in modo da avere $ \sin $ e non $ sin $. E similmente per le altre.
Inoltre, l'"angle brocard" si chiamerà, credo, "Brocard angle" in inglese e viene detto semplicemente "angolo di Brocard" in italiano. Inoltre ha una definizione un po' più geometrica che è la seguente:
in un triangolo ABC, sia P un punto tale che $ \widehat{PAB}=\widehat{PBC}=\widehat{PCA}=\omega $. Allora P si chiama (primo) punto di Brocard e $ \omega $ si chiama angolo di Brocard.

Oppure, invocando i cannoni: chiamo $ \Omega $ uno dei due punti di Brocard di un generico triangolo $ ABC $, constato che il triangolo pedale di $ \Omega $ è simile ad $ ABC $ e ne calcolo la superficie; applico il teorema di Eulero sui triangoli pedali e deduco che la distanza di $ \Omega $ dal circocentro di $ ABC $, elevata al quadrato, è pari a $ R^2(1-4\sin^2(\omega)) $, da cui la tesi.

O ancora: l'angolo di Brodcard soddisfa (per ceva trigonometrico):
$ ~ \sin^3 \omega = \sin \alpha - \omega \sin \beta - \omega \sin \gamma - \omega $.
Da qui, supponendo $ ~ \omega > 30° $, ottengo $ ~ (\alpha - \omega) + \beta - \omega) + (\gamma - \omega) < 90° $, e quindi, posto $ ~ a = \alpha - \omega $:
$ ~ \sin a \sin b \sin c \le \left( \frac{\sin a + \sin b + \sin c}3 \right)^3 $ $ ~ \le \left(\sin{\frac{a+b+c}3} \right)^3 \le \left(\sin 30 \right)^3 < \left(\sin \omega \right)^3 $.
Ho usato AM-GM e Jensen.