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Salve gente, vorrei chedervi un parere su questo esercizio di topologia...

Calcola il gruppo fondamentale di $ X = \{(w,z) \in \mathbb{C}^2 \| w^5 = z^2, z \ne 0 \}. $

Osserviamo che il gruppo cercato è un sottogruppo di $ \Pi_1(\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* ) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $.
Consideriamo il rivestimento dato (per ogni n)dalla mappa $ p_n : \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{C}^* $ che manda $ z \mapsto z^n $, per $ n= 2 , n=5. $ Entrambi i rivestimenti sono suriettivi, quindi $ Im(p_2) = Im(p_5) = \mathbb{C}^* $. Posso ragionare '' sulle due componenti'' in questo modo. Dato z, determino la sua immagine tramite $ p_2 $, e devo trovare i $ w \in \mathbb{C}^* $ che siano la controimmagine di $ p_2(z) $ tramite $ p_5. $, analogamente, dato $ w $, determino la sua immagine tramite $ p_5 $, e devo cercare i $ z \in \mathbb{C}^* $ che ne siano la controimmagine tramite $ p_2 $.
Poichè le mappe indotte a livello di gruppi fondamentali mi dicono che $ (p_2)_* (\Pi_1(\mathbb{C}^*, z_0)) \cong 2\mathbb{Z}, (p_5)_* (\Pi_1(\mathbb{C}^*, w_0)) \cong 5\mathbb{Z} $, in breve (risparmio i dettagli) avrei $ \Pi_1(X) \cong 2\mathbb{Z} \times 5\mathbb{Z} $. E' giusto?

in realtà, il tuo spazio $ X $ è l'immagine della diagonale in $ \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* $, quindi il tuo rivestimento non è il prodotto, ma è semplicemente $ \mathbb{C}^* $...
più semplicemente, potevi considerare la mappa $ p:\mathbb{C}^*\to X, p:v\mapsto (v^2,v^5) $ che ti dà un omeomorfismo (a occhio e croce), oppure potevi fare la stessa cosa da $ S^1 $ (visto che $ S^1\times S^1 $ è un retratto di deformazione di $ \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* $, e in particolare $ X $ si retrae sulla sua intersezione con la palla unitaria di quest'ultimo...).
concludendo, il gruppo fondamentale è $ \mathbb{Z} $.

ma.. toglimi una curiosità (anche via mp, se vuoi).. tu studi a pisa? ti conosco?