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Dimostrate questo risultato molto carino:

Abbiamo un triangolo con vertici R,V,B. E abbiamo anche una triangolazione di questo triangolo, cioè il suo interno è partizionato in (finiti) triangolini che si intersecano su un lato, su un vertice, o non si intersecano.

Coloriamo ogni vertice del triangolo e della triangolazione di rosso, verde o blu, con queste regole:
- il vertice R è colorato di Rosso, V di Verde e B di Blu
- i vertici sul segmento RV sono colorati di Rosso o di Verde, e così via
- i vertici interni sono colorati come gli pare.

Dimostrare che esiste un triangolino con tutti i vertici di colore diverso.

Questa era solo la versione a 2 dimensioni! Il teorema si generalizza tranquillamente ad n dimensioni.
Prendiamo un insieme di n+1 punti in $ ~ \mathbb{R}^n $ tali che non c'è uno spazio ad n-1 dimensioni che li contiene. L'inviluppo convesso di questi n+1 punti lo chiamiamo un n-simplesso. Ad esempio, un 2-simplesso è un triangolo non degenere, un 3- simplesso un tetraedro, etc.

Diciamo che un'iperfaccia di un n-simplesso è il k-simplesso formato da k+1 dei suoi vertici, k<n. Esempio: le iperfacce di un triangolo sono i lati e i vertici.

Una triangolazione di un n-simplesso è un suo ricoprimento in n-simplessi in modo che se due di questi si intersecano, la loro intersezione è un'iperfaccia che hanno in comune.

Ora, prendiamo una triangolazione di un n-1-simplesso $ ~ (v_1,v_2,\ldots,v_n) $ e coloriamo con i colori 1,2,...,n i suoi vertici in modo che se un vertice appartiene a una k-1-iperfaccia $ ~ (v_{i_1}, v_{i_2},\ldots,v_{i_k}) $, il suo colore appartiene all'insieme $ ~ i_1,i_2,\ldots,i_k $.

Dimostrare che esiste un elemento della triangolazione i cui vertici hanno tutti i colori diversi.

Faccio il caso $ n=1 $. In questo caso devo prendere uno 0-simplesso [=un punto], triangolare il punto, non facendo assolutamente nulla, colorare il simplesso con un colore scelto in un insieme di 1 colori possibili e verificare che nella triangolazione esiste uno 0-simplesso i cui vertici sono di tutti i colori possibili (ossia l'unico colore in gioco).

Basta prendere l'unico punto. La verifica che lo 0-simplesso così costruito appartiene effettivamente alla triangolazione e che verifica le proprietà richieste viene lasciato come facile esercizio per il lettore. []

Che cosa ho vinto?

Per chi risolvesse il caso n=1 era previsto questo simatico 3-simplesso peluche:



E' un po bambinesco, ma molto carino!
Restano irrisolti i casi n>1, ma mi raccomando, se ambite al premio la dimostrazione deve essere scritta almeno tanto bene quanto quella di Marco

Nooo.... lo volevo io... Ho una meravigliosa dimostrazione nel caso $ n>1 $ che non vi dirò mai a meno che non mi sia garantito un peluche del genere per ogni n che dimostro

Vi abbiamo presentato... "Fermat 2007... la minaccia"

Alura:

siccome se ragiono in piu' di 2 dimensione mi si scrocia il cervello, faccio il caso n=2 e scrivo tra parentesi in fondo (come se fossi in gara): "lo stesso ragionamento e' valido per n generico".

Dunque, prendiamo il controesempio con il minor numero di punti.

Se c'e' almeno un punto interno al triangolo (non sul perimetro): Diciamo che e' dentro un k-agono (il tutto e' un grafo planare e quel punto ha grado k). wlog il punto e' R, quindi non c'e' un lato del k-agono BV, quindi:
caso 1: c'e' un vertice R sul perimetro del k-agono: cancello il punto R al centro e unisco il nuovo punto R agli altri e ho una nuova triangolazione senza triangoli con i vertici di tre colori diversi.
caso2: non ci sono vertici R sul perimetro, quindi cancello il punto al centro e comunque unisco i vertici sul perimetro, non ci sono triangoli con i vertici di colori diversi.

Quindi non c'e' un punto interno, nel minimo controesempio.

Se c'e' un punto sul perimetro (diverso dai vertici) lo "spingo" all'interno del triangolo (sicuramente non creo un triangolo con i vertici di colori diversi, visto che non potevano esserci sullo stesso lato 3 punti di colori diversi) e mi rifaccio al caso di sopra.

Rimane il caso in cui ci sono solo tre punti: R, V e B, che lascio a Marco.

(Lo stesso ragionamento e' valido per n generico)

Carino
La mia era decisamente più costruttiva e ve ne propongo un pezzetto.
Dimostrare che gli elementi della triangolazione che soddisfano la tesi sono in numero dispari (e ovviamente sono almeno uno )

Questa è la mia:

Diciamo che un lato è policromo se ha i vertici di colori diversi. Supponiamo la tesi falsa. Allora ogni triangolo ha 0 o 2 lati policromi (solo 1 è impossibile). Sommando su ogni triangolo il numero di lati policromi, troviamo un numero pari. Inoltre ogni lato policromo interno è stato contato esattamente 2 volte, quindi il numero di lati policromi esterni è pari. Ma questo è impossibile, perchè su ogni lato grande troviamo un numero dispari di lati policromi.

Da questo segue anche che il numero di triangolini con tutti i colori sono in numero dispari.

Ora generalizzate!