OliForum Matematico

Posto qui perchè la querèle è nata durante la lezione di analisi.
Quanto fa $ ~1^i $?

Si può vedere la cosa in due modi, ma si arriva a due risultati diversi:

1) $ 1^i = e^{i\log1} = e^0 = 1 $
e questo è quello che credo io... in fondo la cosa tira in ballo solo le proprietà dei logaritmi... niente di "trascendentale" o particolarmente "complesso ( )

2) Tenendo presente che
$ e^{2\pi i} = 1 $
si elevano ambo i membri alla $ ~i $ e si ottiene
$ e^{2\pi i^2} = 1^i = e^{-2\pi} $
come lo spiegate?

Beh, il fatto è che l'esponenziale complesso è periodico. Elevare un numero alla i significa elevare e alla i*log (quel numero), ma il log complesso non è ben definito, o meglio, lo si può definire solo su un dominio limitato.

Esattamente, ed infatti anche nel primo modo di calcolo da te presentato, visto che stai lavorando con i numeri complessi, devi tener conto che
$ \log 1=\{2k\pi i\}_{k\in\mathbb{Z}} $
e dunque puoi avere $ 1^i=e^{2k\pi i^2}=e^{-2k\pi} $ per ogni k intero ... i due risultati in se non sono in contraddizione ... semplicemente gli elevamenti a potenza in campo complesso possono far accadere buffe cose.

C'è anche da dire però che quando la base è un numero reale positivo è possibile definire in modo non ambiguo l'esponenziale scrivendo $ a^z=e^{z\log a} $ dove $ \log $ non è un'arbitraria determinazione del logaritmo complesso ma l'usuale logaritmo da $ \mathbb{R}_+ $ in $ \mathbb{R} $.
Questa definizione è quella comunemente utilizzata e che si può dare per scontata a meno di avvisi espliciti in senso contrario, per cui io direi che, seguendo le notazioni più comuni, $ 1^i=1 $.

Grazie delle risposte, ora ho capito un po' meglio... ma la questione da dove nasce? non è un po' poco rigoroso definire cose che portano a questi paradossi? dove nasce di preciso la distinzione tra esponenziale (funzione che si dimostra esistere in quanto sup di una successione crescente e inf di un'altra decrescente) e esponenziale complesso, strettamente legato alle funzioni $ ~\sin $ e $ ~\cos $ ?


Trovato poi un altro giochino divertente

$ e = e\cdot 1 = e^{2\pi i+1} = e^{2\pi i+1}\cdot 1= $

$ = e^{2\pi i+1}^{2\pi i+1} = e^{2\pi i +1)^2} = $

$ = e^{4\pi^2i^2 + 4\pi i + 1} = e^{1-4\pi^2} $

Non c'è niente di poco rigoroso. Il fatto è che una funzione logaritmo da C a C che abbia le proprietà che ti aspetti non si può definire, e infatti non si definisce. Lo stesso vale per le funzioni potenza. Se però ci si restringe ad un aperto di C non troppo grosso (quello che serve è che sia semplicemente connesso, ma ora non ci importa) è possibile definire queste funzioni. Un po' come è possibile definire il logaritmo da R+ in R. Quando fai tutte queste manipolazioni dovresti vedere che gli argomenti delle funzioni che applichi restino nel dominio su cui sei riuscito a definirle.

killing_buddha ha scritto:Trovato poi un altro giochino divertente

$ e = e\cdot 1 = e^{2\pi i+1} = e^{2\pi i+1}\cdot 1= $

$ = \left( e^{2\pi i+1} \right) ^{2\pi i+1} = e^{(2\pi i +1)^2} = $

$ = e^{4\pi^2i^2 + 4\pi i + 1} = e^{1-4\pi^2} $

... col che si dimostra:

Teorema di K.B. $ e^{\pi^2} $ è un numero algebrico.
Dim.: Dalla relazione scritta sopra, dividendo tutto per $ e $, si vede che vale $ $ e^{4 \pi^2} = 1 $. In particolare, $ e^{\pi^2} $ è zero del polinomio $ X^4 - 1 $. []


Ecco qual è il tipo di trappole a cui bisogna stare attenti con le esponenziali di numeri complessi con base complessa!

mi ricorda un po' $ $(+2)^2=(-2)^2\Rightarrow +2=-2$ $

Marco ha scritto:

killing_buddha ha scritto:Trovato poi un altro giochino divertente

$ e = e\cdot 1 = e^{2\pi i+1} = e^{2\pi i+1}\cdot 1= $

$ = \left( e^{2\pi i+1} \right) ^{2\pi i+1} = e^{(2\pi i +1)^2} = $

$ = e^{4\pi^2i^2 + 4\pi i + 1} = e^{1-4\pi^2} $

... col che si dimostra:

Teorema di K.B. $ e^{\pi^2} $ è un numero algebrico.
Dim.: Dalla relazione scritta sopra, dividendo tutto per $ e $, si vede che vale $ $ e^{4 \pi^2} = 1 $. In particolare, $ e^{\pi^2} $ è zero del polinomio $ X^4 - 1 $. []


Ecco qual è il tipo di trappole a cui bisogna stare attenti con le esponenziali di numeri complessi con base complessa!

col che non ho capito se è vero o falso...

Ce l'hai una colcolatrice scientifica?

Prova a calcolare $ e^{4 \pi ^2} $ e vedi se fa 1...

Marco ha scritto:Ce l'hai una colcolatrice scientifica?

Prova a calcolare $ e^{4 \pi ^2} $ e vedi se fa 1...

Credo che lui intendesse "non ho capito se $ \displaystyle e^{\pi^2} $ è algebrico".

Dal tuo post in effetti non è molto chiaro, del resto Falso->Vero=Vero.

infatti intendo proprio che non ho capito se $ e^\pi^2 $ sia algebrico o no...

Mi pare che sia un problema tuttora aperto.

fatto con la calcolatrice $ e^{4\pi^2} $ non fa $ 1 $ ma $ 1.397201103*10^17 $