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Ho questo esercizio che mi rompe il capo:
sia $ f\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ la funzione definita dalla legge $ f(x)=x^2 $ e supponiamo che il codominio sia uno spazio topologico con la topologia euclidea. Qual'è la topologia meno fine sul dominio che rende $ f(x) $ continua?
CI sto sbattendo contro e non ne vengo fuori...

Beh, prova a vedere. Qual'è una base di aperti per la topologia euclidea su R? Cosa ottieni quando fai la controimmagine tramite f?

Vediamo se questo ragionamento è corretto. Poichè l'esercizio mi richiede di determinare la topologia meno fine sul domino, prendo quella indiscreta (o banale) e verifico se la controimmagine di un sottoinsieme del codominio è un aperto.
Che te ne sembra?

Beh, puoi anche fare la verifica, ma non verrà continua.

Prova ad esempio a prendere un intervallo, come ]1,2[ Qual è la sua controimmafine tramite f? E se cambi intervallo? Che topologia generano questi insiemi?