OliForum Matematico

Ciao,

io sono nuovissimo e avrei una domanda a cui non so rispondere, qualcuno mi aiuterebbe per favore?


Perchè il rapporto tra due vettori a e b non esiste ?

Forse perchè nessuno ha mai avuto la necessità e la voglia di definirlo..?

Perchè non esiste una moltiplicazione tra i vettori.

rapporto in senso di inversa di prodotto per uno scalare o di prodotto esterno, ovvero
il risultato sarebbe uno scalare o un vettore?

Cos'è un vettore?

Il prodotto tra vettori di fatto esiste.
Mi chiedevo perchè non si calcola il rapporto tra vettori prendendo il primo dei due e moltiplicandolo per l'inverso del secondo.
Mi pare di aver letto che é un'operazione priva di senso...ma nn capiso perchè le cose stiano così... sigh !

forse perchè non ha senso l'"inverso di un vettore". Per poter parlare di inverso ti serve un vettore che funzioni da "elemento neutro", ovvero un vettore che "moltiplicato" (nel senso del prodotto vettoriale, penso che tu intendessi quello come prodotto) per qualsiasi altro vettore lascia quest'ultimo invariato. Il problema è che il prodotto vettoriale ti fa in ogni caso uscire dal piano dove vivono i due vettori di cui fai il prodotto, quindi non potrai mai avere un "elemento neutro", e quindi nemmeno un "inverso".

Allora, se il prodotto tra vettori esiste, qual è il prodotto tra i vettori della base di R^2?
Cioè, tra i vettori del piano, qual è il prodotto?
Oppure se vuoi, tra i vettori in 4 dimensioni qual è il prodotto?
E poi, visto che tu ti stai riferendo al prodotto vettore, chiamarlo prodotto è un po' azzardato, visto che non vale la legge di annullamento, non è commutativo, non si può sempre trovare un inverso.

Da quel (poco) che so di algebra lineare e algebra astratta.

Un prodotto vettoriale "interno", nel senso tale per cui, dati due vettori di uno stesso spazio vettoriale (non so, lo spazio R^3 per esempio, ma si può astrarre gratuitamente, semmai prova a leggere la pagina linkata), il prodotto sia ancora dentro quello spazio, non è proprio *definito*. Certo, uno potrebbe mettersi lì e inventarsi una qualche definizione, ma non so quanto sarebbe utile, ora come ora. Gli assiomi di spazio vettoriale, come detto, non contemplano affatto la presenza di un'operazione interna diversa dalla somma.

Ecco, se poi per qualche strano caso ad un medesimo insieme si riesce a dare una struttura di spazio vettoriale E una struttura di qualche altro tipo (per es. di campo o anello con divisione o altro), allora avresti anche il prodotto interno. [L'esempio solito è quello dell'insieme dei numeri complessi $ $\mathbb{C} $, che ha una struttura di campo (quindi la moltiplicazione di numeri complessi è ben definita) ma anche una struttura di spazio vettoriale sui numeri reali.] Il fatto è che... come dire? Quando tu vedi quell'insieme come spazio vettoriale, il prodotto non ce l'hai, e viceversa, quando vedi quell'insieme come campo o quel che è, i "vettori" non ce li hai. Nel senso che, almeno da quanto ho studiato io finora, in linea di principio non si tende a "mischiare" le cose, ma a tenerle ben separate. Poi, certo, nel caso dei complessi potresti definire SULLO SPAZIO VETTORIALE dei numeri complessi un prodotto che ricalchi il prodotto usuale del CAMPO complesso (e in effetti tutto ciò ha un preciso significato geometrico), però... non è una definizione che ha molte speranze di venire generalizzata in maniera utile, al di là di questo caso particolare. Questo, sempre da quel che ho studiato finora.

Spero di non aver fatto confusione.

Ok Hydro, credo tu abbia ragione
Tuttavia a questo punto il problema potrebbe diventare : comprendere come mai il prodotto di due vettori ti porta fuori dal piano.
C'é una ragione matematica o é un'osservazione empirica .. ??
tipo la seconda legge della Termodinamica che é vera perchè sempre verificata ma mai dimostrata ??
Mi piacerebbe sapere chi e perchè ha per primo concluso che il prodotto vettoriale di due vettori comporta un nuovo vettore che però esce dal piano dei primi due.
Qualcuno saprebbe darmi qualche indicazione o link quanto a questo?

Grazie moltissimo per tutte le osservazioni pubblicate.

Skydiver

In realtà il prodotto vettore è una cosa che viene definita, non è qualcosa di "esistente" (come più o meno nulla in matematica).
Potresti pure inventarti il prodotto pippo che ad ogni coppia di vettori del piano ne associa un terzo, ad esempio utilizzando il prodotto tra numeri complessi; in questo modo avrai un prodotto tra vettori e potrai anche fare le divisioni, ma funzionerà solo nel piano. Non potrai mai fare un prodotto vero e proprio tra vettori dello spazio di modo che sia associativo, con elemento neutro, con inverso, distributivo sulla somma eccetera...Questa impossibilità si può dimostrare ma non è affatto facile.