OliForum Matematico

perdonate la mia immensa ignoranza ...mi rivolgo ai grandi matematici del forum...c'è qualcuno che con molta pazienza possa farmi le seguenti cinque dimostrazioni:
1) i numeri naturali sono infiniti
2) i numeri interi sono infiniti
3) i numeri razionali sono infiniti
4) i numeri reali sono infiniti
5) i numeri complessi sono infiniti

in particolare per la 4) ho sentito parlare della diagonalizzazione di cantor ma non capisco perchè il metodo di cantor implica che i reali sono infiniti....

premetto che faccio il liceo, quindi non sono autonomamente in grado di fare riferimento ad assiomi o ad altri teoremi

chiedo le dimostrazioni perchè stanotte m'è venuto sto pallino...grazie

Mah, vediamo un po', sebbene io non sia assolutamente tra i "grandi matematici del forum"!!

1. Definisco l'insieme dei naturali ricorsivamente: $ n_0=0, n_{k+1}=n_k+1 $. E' chiaro che posso proseguire indefinitamente la successione, che quindi è infinita.
2. Per il principio del buon ordinamento, supponendo che l'insieme $ \mathbb{Z} $ sia finito, esso ha un elemento minimo, $ z_0 $. Ma anche $ z_0-1 $ è un intero, dunque vi sono infiniti interi.
Ad ogni modo, intendendo $ \mathbb{Z} $ come ampliamento di $ \mathbb{N} $, l'infinità degli interi segue banalmente...
3. Per i razionali, siano $ \frac{a}{b},\frac{c}{d} $, con $ \frac{a}{b}< \frac{c}{d} $, due numeri positivi (per semplicità) appartenenti a $ \mathbb{Q} $. Vale naturalmente $ ad<bc $. Allora anche $ \frac{a+c}{b+d} $ è razionale. Poichè questo modo di costruire razionali è iterabile all'infinito, anche i razionali sono infiniti.

Sui reali non mi pronuncio, anche perchè non so nulla di Cantor... Ciò nonostante, siccome la questione riguarda solo l'infinità degli insiemi, penso sia sufficiente l'argomentazione già proposta circa $ \mathbb{Z} $, visto che tutti gli insiemi citati nascono come ampliamenti successivi di $ \mathbb{N} $.
Forse Cantor serve per dimostrare che i reali sono densi...

Spero quadri tutto!... Andrea

Beh la diagonalizzazione di cantor serve per dimostrare che i reali sono di più dei razionali, e quindi è un ovvio corollario che siano infiniti
I complessi poi puoi rappresentarteli come i punti del piano di Gauss, quindi...

Ponnamperuma ha scritto:Vale naturalmente $ ad<bc $. Allora anche $ \frac{a+c}{b+d} $ è razionale. Poichè questo modo di costruire razionali è iterabile all'infinito, anche i razionali sono infiniti.

perchè se $ ad<bc $ allora $ \frac{a+c}{b+d} $ è razionale? non ho capito questo passaggio...per il resto è tutto abbastanza chiaro

La seconda frazione risulta compresa strettamente tra $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $. Se provi a svolgere le disuguaglianze trovi in ambo i casi la relazione $ ad<bc $, vera per ipotesi...
Inoltre il nuovo numero è razionale perchè sia a numeratore sia a denominatore compaiono interi (e $ \mathbb{Z} $ è chiuso rispetto all'addizione!!)...

ok...

I naturali sono infiniti perchè f(n) = successore(n) = n+1 = $ ~ n \cup \{n\} $ è una funzione biunivoca tra N e un sottoinsieme proprio (N \ {0}).

Tutti gli altri insiemi che hai citato contengono i naturali e quindi sono infiniti anche loro.

A voler essere formali, che i naturali sono infiniti, e che esistono i naturali, può essere divertente farlo solo armeggiando con gli assiomi della teoria degli insiemi!
E a voler essere formalissimi, non è neanche vero che gli interi (secondo la definizione comune) conengono i naturali

edriv ha scritto: A voler essere formali, che i naturali sono infiniti, e che esistono i naturali, può essere divertente farlo solo armeggiando con gli assiomi della teoria degli insiemi!

Non è affatto divertente...

Bye,
#Poliwhirl#

Ma sì che lo è. Il modo più divertente per definire l'infinità dei naturali è di avere un infinito numeri di assiomi di questo tipo

$ \exists x_1 $
$ \exists x_1 \exists x_2 x_1\ne x_2 $
$ \exists x_2 \exists x_2 \exists x_3 (x_1\ne x_2, x_1\ne x_3, x_2\ne x_3) $
$ \vdots $

Io intendevo la definizione di infinito come insieme in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme, dimostrare l'esistenza dei numeri naturali a partire dall'assioma dell'infinito, dimostrare che $ ~ f(X) = X \cup \{X\} $ è una corrispondenza biunivoca tra
$ ~ \mathbb{N} $ e $ ~ \mathbb{N} \setminus \emptyset $.

allora vi chiedo anche io una cosa: come si dimostra che i numeri primi sono infiniti??
grazie

Ammettiamo di dire che ci sono un numero finito di numeri primi...e che sono
$ p_1 , p_2 , p_3..., p_k $. Prendi il loro prodotto e aggiungici 1.
$ A= p_1p_2p_3 \dots p_k+1 \equiv 1 (\mod p_i) $
con $ 1 \le i \le k $
Quindi il numero ottenuto non è divisibile per nessuno dei primi già noti.
CASO 1 )A stesso è un numero primo
CASO 2 )A è un numero composto ed esiste più di un primo che lo divide diverso da
$ p_1 , p_2 , p_3..., p_k $.

Conclusione: i primi sono infiniti.

EUCLA ha scritto: CASO 1 )A stesso è un numero primo
CASO 2 )A è un numero composto ed esiste più di un primo che lo divide diverso da
$ p_1 , p_2 , p_3..., p_k $.

Ovvero esiste $ p_j, j\neq {1,2,...,k} $ tale che $ p_j|p_1p_2...p_k+1 $... in fondo perché distinguere due casi?! (Scusami EUCLA, so di essere futilmente rompiballe!...)

Ciao!

Ponnamperuma ha scritto: Scusami EUCLA, so di essere futilmente rompiballe!...)

LOL! figurati, ho la mania dei casi..