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Un piano liscio è inclinato di 45°. Alla sua estremità superiore è appesa unja carrucola di massa trascurabile, e ad essa è appoggiata una corda anch'essa di massa trascurabile con agli estremi due masse M=700g ed m incognita. Trovare il valore di m affinchè il sistema sia in equilibrio stabile.

Immagino che M sia più grande di m e che quindi stia sul piano inclinato. M tira quindi con una forza di $ $\frac{700g\cdot 9,81m/s^2}{\sqrt{2}} $, quindi impostiamo l'equazione:
$ $\frac{700g\cdot 9,81m/s^2}{\sqrt{2}}=m\cdot 9,81m/s^2 $
da cui $ $m=495g $

Aggiungo il caso in cui M sia più piccolo e quindi m stia sul piano inclinato:
$ $\frac{m\cdot 9,81m/s^2}{\sqrt{2}}=700g\cdot 9,81m/s^2 $
$ m=700g\cdot\sqrt{2}=990g $

però potresti anche spiegarmi perchè? almeno so come comportami se mi capitano problemi del genere!

Il caro vecchio paint!

Le forze con cui tirano M ed m devono essere pari perchè stia in equilibrio, quindi le calcolo e le eguaglio in un'equazione con incognita m, la $ \sqrt{2} $ è per il triangolo notevole con angolo 45°, forse ti è più chiaro così:
$ m\cdot 9,81m/s^2\cdot\cos45°=700g\cdot9,81m/s^2 $
$ m=700g/\cos45°=990g $
(il caso giusto è il secondo, con M<m, come mi è stato confermato in mp)