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Salve gente, ho problemi con un esercizio di analisi complessa/topologia, un misto.
Questo è il testo, il fatto è che pur spremendomi bene bene le meningi per un pò di tempo ho provato varie strade ma nessuna di queste mi ha portato alla soluzione, qualcuno potrebbe indirizzarmi per lo meno nella via giusta?

Sia $ \{a_n} \}_{n \in \mathbb{Z} } $ una successione di numeri reali con $ 0 \le a_n \le 1. $ Consideriamo l'insieme $ K = \cup_{n \in \mathbb{Z} } D(n,a_n) $, dove $ D(x,r) $ è la palla CHIUSA di centro x e raggio r , $ B(x,r) $ è la palla APERTA di centro x e raggio r.

Per quali successioni $ a_n $ esiste una funzione olomorfa $ f : \mathbb{C} \setminus K \rightarrow B(0,1) $ non costante?

Purtroppo i miei ragionamenti sulla limitatezza di f non mi hano portato a nulla per il momento

boh, a occhio e croce per tutte le successioni non nulle:

una freccia: prendi $ a_n>0 $, prendi $ f(z) = \frac{a_n}{2(z-n)} $, e dovrebbe andare.

l'altra: una funzione limitata olomorfa in un intorno di un punto si prolunga ad una funzione olomorfa dovunque*, quindi per liouville concludi.

funge, no?

* supponi che il punto in questione sia $ 0 $, e moltiplica la tua bella funzione per $ z $: a questo punto hai una funzione che si può prolungare per continuità ad una funzione olomorfa che vale $ 0 $ in $ 0 $, quindi la scrivi come $ zf $ per una certa $ f $ olomorfa, che è il tuo bel prolungamento della funzione di partenza.
modo gentile di dire che intorno ad una singolarità una funzione olomorfa si comporta male.

Mh, si, quindi nel primo caso concludo nella prima freccia che la mia f è olomorfa in $ \mathbb{C} \setminus K = \{ \mid z-n \mid > \frac{a_n}{2} , z \ne i $ per ogni intero $ i \} $... e l'altra freccia è anche più immediata.
Io ero riuscito solo a concludere che $ a_n $ non poteva essere definitivamente nulla...però ora torna, ed è anche abb ovvio...grazie mille.

Dimenticavo, nella prima freccia...essendo f limitata in modulo in ogni intorno di ogni punto $ i \in \mathbb{Z} $ singolarità isolata, abbiamo che tali singolarità sono eliminabili e questo torna con l'espressione di f che non ha problemi nell'intorno di ogni intero diverso dal nostro n...