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Dimostrare che
$ \displaystyle \frac {d^n x^n (x-1)^n}{dx^n}=n! \sum_{i=0} ^n {\binom n i}^2 x^i (x-1)^{n-i} $

SI sa che e':
$ D^{(n)}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x) $

sostituiendo $ f(x) = x^n $ e $ g(x) = (x-1)^n $ e sapendo che e':

$ D^{(n-k)}[x^n] = \frac{n!}{k!}x^k $ e

$ D^{(k)}[(x-1)^n] = \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} $

Viene:

$ D^{n}[{x^n}{(x-1)^n}] = \sum_{k=0}^n {n \choose k}{\frac{n!}{k!}x^k}\;{\frac{n!}{(n-k)!}}(x-1)^{n-k} $ =

= $ {n!}\sum_{k=0}^n {{n \choose k}^2}{x^k}\;(x-1)^{n-k} $