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geometria e trigonometria
Inviato: 22 giu 2007, 19:50
da Roy
Salve ciao a tutti,non riesco a risolvere un semplicissimo problema di geometria in cui credo centri qualcosa la trigonometria,l'ho preso dai file pdf cesenatico 2006 dove non sono riuscito a trovare le soluzioni....Questo è il prblema:in un triangolo ABC le lunghezze dei lati uscenti da A sono 1358 e
2006, e la mediana uscente da A ha lunghezza 1358. Qual `e la lunghezza di BC?Grazie a tutti in anticipo per le risposte....un saluto
Inviato: 22 giu 2007, 20:18
da Ponnamperuma
Beh, così su due piedi, un possibile approccio, verosimilmente non praticabile, per via dei grandi numeri in gioco... a meno che siano fattorizzabili in modo conveniente...
Chiama x ognuna delle parti in cui il lato BC è diviso dal suo punto medio M. Facilmente, i triangoli ABM e ACM hanno la stessa area. Allora puoi imporre l'uguaglianza dei radicalozzi della formula di Erone, nei quali l'unica incognita è x.
Ovvio rischio è che i polinomi di 4° grado che si generano non facciano i bravi e non siano fattorizzabili/riducibili facilmente... cosa che mi sembra assai probabile...
Ma esattamente dove l'hai preso il problema? Era nella gara a squadre di Cesenatico?
EDIT: Già, non mi ero accorto che era isoscele... bravo Zoidberg...
Inviato: 22 giu 2007, 20:57
da Zoidberg
disegna il triangolo con base BC.
se chiamo M il punto medio di BC, il triangolo ABM (o ACM, dipende da come nomini i vertici) è isoscele.
Se AH è l'altezza di questo triangolo (e anche di ABC) posso dividere ABC in due triangoli rettangoli.
Le ipotenuse sono 1358 e 2006, un cateto è in comune (AH) e AM = MB/3.
Applicando Pitagora ad entrambi con un sistemino si risolve facilmente.
Inviato: 23 giu 2007, 12:54
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
oppure molto banalmente sapendo la formula della lunghezza della mediana..
Inviato: 27 giu 2007, 13:19
da Roy
E qual'è la formula della lunghezza della mediana?Comunque grazie a tutti per le risposte...
Inviato: 27 giu 2007, 13:25
da Roy
Zoidberg scusa,nella tua spiegazione verso la fine hai scritto AM=MB\3,perchè?Grazie ancora...
Inviato: 27 giu 2007, 14:33
da Zoidberg
hai ragione! ho sballato completamente le lettere.
Intendevo BH=HC/3
Inviato: 28 giu 2007, 12:30
da Roy
forse mi sfugge qualcosa ma non riesco a capire perchè HB=HC\3...potresti illuminarmi nuovamente Zoidberg...grazie ancora...
Inviato: 28 giu 2007, 14:59
da Zoidberg
BM=MC per ipotesi.
poi BH=HM perchè BAM è un triangolo isoscele, e l'altezza divide la base in 2 parti uguali.
Quindi BH=HM e MC=2*BH
HC=HM+MC=BH+2BH=3BH
BH=HC/3
Inviato: 29 giu 2007, 21:36
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
Roy ha scritto:E qual'è la formula della lunghezza della mediana?Comunque grazie a tutti per le risposte...
Scusa se non ti ho risposto subito ma sono stato via in questi giorni.
Comunque usando la notazione standard, la formula per la lunghezza della mediana uscente dal vertice A è questa:
$ \displaystyle m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2) - a^2} $
E ugualmente per le altre.
Se non ci si ricorda la formula basta ricavala dal teorema di Stewart che invece è molto facile da ricordare
Direttamente dal Gobbino:
Teorema di Stewart. Sia $ P $ un punto sul lato $ AB $ del triangolo $ ABC $. Allora
$ \displaystyle CA^2 \cdot PB + CB^2 \cdot AP = CP^2 \cdot AB + AP \cdot PB \cdot AB $
Inviato: 30 giu 2007, 22:34
da Roy
Grazie Zoidberg,mi era sfuggito quel passaggio (spero perchè ho prestato poca attenzione sennò faccio veramente schifo..
)...e grazie anche a gabriel per la formula della mediana anche se credo che per ora la ricorderò a memoria per poi approfondire...tra parentesi ammiro molto la tua immagine che se non sbaglio è un dodecaedro regolare inscritto in un icosaedro regolare...Di nuovo grazie a tutti,questo sito è davvero ottimo per chi ama la matematica o per chi si vuole avvicinare al suo straordinario mondo!
Inviato: 30 giu 2007, 23:17
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
Roy ha scritto: la tua immagine se non sbaglio è un dodecaedro regolare inscritto in un icosaedro regolare
si se unisci i vertici della stella ottieni un icosaedro
