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Sia $ ~ A $ un insieme. Sia $ ~ A' $ l'insieme di tutti i sottoinsiemi B di $ ~ A \times A $ tali che:
- $ ~( \forall x \in A) (\exists ! y \in A ) ( (x,y) \in B) $
- $ ~( \forall x \in A) (\exists ! y \in A ) ( (y,x) \in B) $
Sia $ ~ f:A' \rightarrow A' $ definita da:
$ ~ f(X,Y) = \{ ((a,b) \in A \times A))|(\exists c \in A)(((a,c) \in X) \land ((c,b) \in Y)) $
(verificare che f è ben definita)

Dimotrare che f soddisfa:
$ ~ \forall a,b,c \in A' f(f(a,b),c) = f(a,f(b,c)) $.

Allora, proviamo ad interpretare cosa significa quella roba.

La prima condizione mi dice che A' contiene i grafici di funzoni g: A->A
La seconda mi dice che le funzioni devono essere iniettive.
A è l'insieme delle funzioni iniettive da g:A->A.

Che schifezza è f(X,Y) ?
Chiamo $ {f_X} : A\to A $ la funzione il cui grafico è X, $ {f_Y}: A \to A $ quella il cui grafico è Y. Allora f(X,Y) è il grafico della funzione $ {f_{X,Y}: A\to A} $ che all'elemento a associa, se esiste, l'elemento $ f_Y(f_X(a)) $. Cioè, la f è l'operazione di composizione.

Cosa chiede il problema? Di verificare che è associativa.
Cioè $ f(f(X,Y),Z)=f(X,f(Y,Z)). $
Ma per fare ciò basta verificare che per ogni valore a, se esiste $ f_Z(a) $ e $ f_Y(f_Z(a)) $ e $ f_X(f_Y(f_Z(a))) $ allora quest'ultima espressione è uguale ai termini dell'uguaglianza di sopra. Ma questo deriva facilmente dalla definizione di "composizione di funzioni".

Sinceramente, come risposta a un problema così io mi aspettavo solo una valanga di insulti, ringrazio la gentilezza di pic