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Irriducibilità di x^n - a
Inviato: 25 giu 2007, 15:53
da edriv
Dato un intero a, dimostrare che il polinomio
$ ~ x^n-a $
si scomone nei polinomi a coefficienti interi se e soltanto se esistono interi b,c,k, con k>1, tali che $ ~ n = bk, a = c^k $.
[edit: come giustamente mi fa notare gianmaria, ho dovuto togliere un "positivi" da qualche parte perchè tornasse]
Inviato: 15 lug 2007, 00:03
da darkcrystal
Un bel problemino! Dunque, chiamiamo $ p(x)=x^n-a $ e supponiamo che si scomponga $ p(x)=q(x)r(x) $ in due polinomi di grado j e n-j.
Poichè le radici di p(x) sono tutte e solo le radici n-esime di a, q(x) è il prodotto di un po' di termini $ (x-\omega_i) $ con $ \omega_i $ radici n-esime di a.
Del resto, il termine noto di q(x) deve essere un intero: perciò il prodotto di "un po'" di queste radici di a deve essere un intero, e quindi avere norma intera.
Le norme dei complessi moltiplicano, quindi dev'essere $ (|a|^{1/n})^j \in \mathbb{Z} $. Sia ora d=(n,j); n=db, j=dc. Per ogni esponente $ \alpha_i $ nella fattorizzazione unica di a vale allora $ db | dc\alpha_i \leftrightarrow b|c \alpha_i \leftrightarrow b|\alpha_i $ (perchè (b,c)=1).
Se ne ha quindi che a è una potenza b-esima, dunque $ a=r^b $ e $ n=kb $ (ormai avevo cambiato lettere, scusate
)
Per il se invece è abbastanza semplice: basta usare le stranote fattorizzazioni "notevoli"
Modulo il fatto che non ho voglia di controllare se c'è qualche problema con i negativi, perchè al momento preferisco andarmene a letto, questa è la mia soluzione
Ciao a tutti!
Inviato: 15 lug 2007, 22:39
da edriv
Ok.
Io l'avevo dimostrato col criterio di Eisenstein.
Inviato: 16 lug 2007, 08:57
da darkcrystal
Noooo ci ho provato per ore
Puoi postare la soluzione con Eisenstein? (l'unica cosa a cui ero arrivato era per n potenza di 2, mi sembrava un po' pochino...)
Ciao!
Inviato: 16 lug 2007, 12:42
da edriv
Hmm... non riesco a ritrovare la soluzione, probabilmente era cannata o ingeneralizzabile
figo eh