OliForum Matematico

Sia $ p(x)\in\mathbb{Z}[x] $ un polinomio a coefficienti interi.

Poniamo $ \deg(p(x))=m $

Dimostrare che se esiste un intero $ a $ tale che: $ \forall x\in \{a,a+1,\dots,a+m\}\; n|p(x) $ allora $ \forall x\in \mathbb{Z}\;n|p(x) $

Generalizzare per i polinomi a piu' variabili...

Se $ \forall k \in \{a, a+1,\dots , a+m\} $ si ha $ n|P(k) $allora, in $ Z_n $, $ P(k) $ e' nullo, quindi ci sono m+1 valori che annullano $ P(x) $ che ha grado m e quindi $ P $ deve essere, sempre in $ Z_n $, il polinomio nullo, ne segue la tesi.

Lo ammetto, questo problema ha una dimostrazione di tre righe. Ma non e' quella che hai scritto

Considera $ x^2-1 $ modulo 8. Quante soluzioni ha? E' il polinomio nullo?

n e' un generico intero, non necessariamente un primo...

Susu! Dai che è un bel problemino! Non penso che piever se ne avrà a male se metto un piccolo hint...

Hint: come è fatto il polinomio p(x+1)-p(x)? E cosa succede se vado avanti così?

E comunque, com'è che non ci sono io e il forum langue?