sviluppo in serie di Fourier
Inviato: 29 giu 2007, 16:52
Si estenda a $ ]+\infty,-\infty[ $ la funzione $ 2\pi $-periodica dispari definita in $ ]0, \pi[ $ da
$ f(x)=x(\pi-x) $ in $ ]0, \pi[ $ e se ne calcoli lo sviluppo in serie di Fourier.
Per la risoluzione troviamo l'estensione periodica di f(x), che in$ ]-\pi, 0[ $ è:
$ f(x)=-x(\pi+x) $ , poichè f è dispari;
Poichè valgono insieme:
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow0^{-}} -x(\pi+x) = 0 $
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow0^{+}} x(\pi-x) = 0 $
f è continua in 0.
Inoltre f è estendibile in R e risulta continua, poichè valgono insieme
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pi^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow\pi^-}x(\pi-x)=0 $
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\pi^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\pi^+} -x(\pi+x)= 0 $
Calcolo i coefficienti della serie di fourier.
$ \forall k\in{N} $
$ \displaystyle{a}_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx) dx=0 $, poichè f è dispari;
$ \displaystyle{b}_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx) dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\sin(kx)dx $
si ha:
$ \displaystyle{1.} \int{x}(\pi-x)\sin(kx)dx= $
$ \displaystyle=-\frac{\cos(kx)}{k}\cdot{x}\cdot(\pi-x)-\int[(\pi-x)+(-x)]\left(-\frac{\cos(kx)}{k}\right)dx= $
$ \displaystyle=-\frac{\cos(kx)}{k}\cdot{x}\cdot(\pi-x)+\frac{1}{k}\int(\pi-2x)\cos(kx)dx $
e ancora:
$ \displaystyle\int(\pi-2x)\cos(kx)dx= $
$ \displaystyle=\frac{\sin(kx)}{k}\cdot(\pi-2x)-2\int-\frac{\sin(kx)}{k}\right)dx= $
$ \displaystyle=\frac{\sin(kx)}{k}\cdot(\pi-2x)-\frac{2}{k^2}\cos(kx)} $
dunque,
$ \displaystyle{b}_k=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(kx)}{k}x(\pi-x)+\frac{\sin(kx)}{k^2}(\pi-x)-\frac{2}{k^3}cos(kx)\right]_{0}^{\pi}= $
$ \displaystyle=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{2}{k^3}cos(kx)\right]_{0}^{\pi}= $
$ \displaystyle=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{2}{k^3}(-1)^{k}+\frac{2}{k^3}\right) $
da cui:
$ \displaystyle{b}_{2k}=0 $ e $ \displaystyle{b}_{2k-1}=\frac{8}{\pi(2k-1)^3} $
pertanto la serie di fourier di f è:
$ \displaystyle{f}\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{\pi}\cdot\frac{sin[(2k-1)x]}{(2k-1)^3} $
mi pare tutto a posto no? che ne dite??
grazie.
$ f(x)=x(\pi-x) $ in $ ]0, \pi[ $ e se ne calcoli lo sviluppo in serie di Fourier.
Per la risoluzione troviamo l'estensione periodica di f(x), che in$ ]-\pi, 0[ $ è:
$ f(x)=-x(\pi+x) $ , poichè f è dispari;
Poichè valgono insieme:
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow0^{-}} -x(\pi+x) = 0 $
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow0^{+}} x(\pi-x) = 0 $
f è continua in 0.
Inoltre f è estendibile in R e risulta continua, poichè valgono insieme
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow\pi^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow\pi^-}x(\pi-x)=0 $
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\pi^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\pi^+} -x(\pi+x)= 0 $
Calcolo i coefficienti della serie di fourier.
$ \forall k\in{N} $
$ \displaystyle{a}_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx) dx=0 $, poichè f è dispari;
$ \displaystyle{b}_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx) dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\sin(kx)dx $
si ha:
$ \displaystyle{1.} \int{x}(\pi-x)\sin(kx)dx= $
$ \displaystyle=-\frac{\cos(kx)}{k}\cdot{x}\cdot(\pi-x)-\int[(\pi-x)+(-x)]\left(-\frac{\cos(kx)}{k}\right)dx= $
$ \displaystyle=-\frac{\cos(kx)}{k}\cdot{x}\cdot(\pi-x)+\frac{1}{k}\int(\pi-2x)\cos(kx)dx $
e ancora:
$ \displaystyle\int(\pi-2x)\cos(kx)dx= $
$ \displaystyle=\frac{\sin(kx)}{k}\cdot(\pi-2x)-2\int-\frac{\sin(kx)}{k}\right)dx= $
$ \displaystyle=\frac{\sin(kx)}{k}\cdot(\pi-2x)-\frac{2}{k^2}\cos(kx)} $
dunque,
$ \displaystyle{b}_k=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(kx)}{k}x(\pi-x)+\frac{\sin(kx)}{k^2}(\pi-x)-\frac{2}{k^3}cos(kx)\right]_{0}^{\pi}= $
$ \displaystyle=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{2}{k^3}cos(kx)\right]_{0}^{\pi}= $
$ \displaystyle=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{2}{k^3}(-1)^{k}+\frac{2}{k^3}\right) $
da cui:
$ \displaystyle{b}_{2k}=0 $ e $ \displaystyle{b}_{2k-1}=\frac{8}{\pi(2k-1)^3} $
pertanto la serie di fourier di f è:
$ \displaystyle{f}\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{\pi}\cdot\frac{sin[(2k-1)x]}{(2k-1)^3} $
mi pare tutto a posto no? che ne dite??
grazie.