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siano a, b, c reali positivi.
provare che
$ abc(a+b+c)\le a^3b+b^3c+c^3a $


disuguaglianza dall'Engel, non richiede alcuna conoscenza particolare ma solo un pò di capacità di arrangiarsi.
pertanto sconsigliata ai più forti...
let's go!

Bene, mi sembra di averla risolta ma se fosse così sarebbe troppo facile e troppo bello quindi lascio a voi il compito di trovare l'errore, visto che io non ci riesco

$ abc(a+b+c)\le a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a $

Dividiamo inanzitutto per $ abc $ essendo, $ a, b, c $ reali positivi.

$ (*) a+b+c \le \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} $

A questo punto, essendo la disequazione ciclica, posso solo scegliere un termine:
supponiamo che $ a \le b,c $.

Quindi ho due casi: $ (1) a \le b \le c $; $ (2) a \le c \le b $

In entrambi i casi applico il riarrangiamento, quindi ho:

$ (1) $
$ a^2 \le b^2 \le c^2 $

$ \frac{1}{c} \le \frac {1}{b} \le \frac {1}{a} $

per cui segue la disuguaglianza $ (*) $

Allo stesso modo:
$ (2) $
$ a^2 \le c^2 \le b^2 $

$ \frac {1}{b} \le \frac{1}{c} \le \frac{1}{a} $

anche in questo caso il minimo è $ a+b+c $

Mi sembra che funzioni...

uffa, io mi sono incasinato all'inverosimile
però la mia soluzione non fa uso di nessuna disuguaglianza nota (a parte $ x^2\ge0 $ )

Altri modi: a partire da dove era arrivata EUCLA, $ ~ \frac{a^2}c + \frac{b^2}a + \frac{c^2}b \ge a+b+c $, la riscriviamo come $ ~ (c+a+b)(\frac{a^2}c + \frac{b^2}a + \frac{c^2}b) \ge (a+b+c)^2 $ che è la mitica Cauchy Schwarz.

Eppoi vogliamo vedere la soluzione incasinatissima ma artigianale di salva90!

Per la serie: 10 righe sono meglio di 2
riscrivo e raggruppo un pò

$ a^3b-ab^2c+b^3c-abc^2+c^3a-a^2bc\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-bc)+bc(b^2-ac)+ca(c^2-ab)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+ab(c^2-bc)+bc(b^2-a^2) $$ +bc(a^2-ac)+ac(c^2-b^2)+ac(b^2-ab)\ge 0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+bc(b^2-a^2)+ac(c^2-b^2) $$ +abc(c-b)+abc(a-c)+abc(b-a)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+bc(b^2-a^2)+ac(c^2-b^2)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a-c)^2-2ab(c^2-ac)+bc(b-a)^2 $$ -2bc(a^2-ab)+ca(c-b)^2-2ca(b^2-bc)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a-c)^2+bc(b-a)^2+ca(c-b)^2\ge $$ 2abc(c-a)+2abc(a-b)+2abc(b-c)=0 $

salva90 ha scritto: io mi sono incasinato all'inverosimile

dato che mi avevi preannunciato l'incasinamento, era per quello che mi preoccupavo se fosse giusta