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Sia data la successione:

$ x_0=2 $

$ x_{n+1}=2x_n^2-1 $


Come voi tutti sapete, se $ p|x_n $ allora $ p\nmid n $, e si dimostra giocando con periodo e antiperiodo della serie modulo p.

Ovviamente, essendo un cesenatico, c'e' un modo molto piu' semplice per risolverlo (come EvaristeG sa bene...).

Si dimostri che, per ogni n intero positivo:

$ p|x_n\Rightarrow p\equiv \pm 1\pmod{2^{n+2}} $

Tiriamo fuori i carri armati...
Consideriamo la successione $ ~ y_n = 2x_n $ che è un po' più comoda, visto che:
$ ~ 2^{2^n}y_n = (1+ \sqrt{3})^{2^{n+1}} + (1-\sqrt3)^{2^{n+1}} = a^{2^{n+1}} + a'^{2^{n+1}} $
Ora, se $ ~ p \mid x_n $ allora p è dispari e $ ~ p \mid y_n $, quindi, nel campo $ ~ \mathbb{Z}_p [\sqrt 3] $, avremo che:
$ ~ a^{2^{n+1}} + a'^{2^{n+1}} = 0 $
$ ~ a^{2^{n+2}} + 1 = 0 $
Quindi l'ordine di a è esattamente $ ~ 2^{n+3} $, ma per il teorema di Lagrange, il suo ordine divide l'ordine del gruppo (moltiplicativo), che, a seconda che 3 sia o no un residuo modulo p, è $ ~ p-1 $ oppure $ ~ p^2-1 $. In ogni caso, $ ~ 2^{n+3} \mid (p-1)(p+1) $, ma questi due hanno al più un fattore 2 in comune, quindi o $ ~ 2^{n+2} \mid (p-1) $, o $ ~ 2^{n+2} \mid (p+1) $, in definitiva, $ ~ p \equiv \pm 1 \pmod {2^{n+2}} $.

Quindi i divisori della successione sono moto grandi, e quindi non possono dividere anche n, ciò dimostra la tesi cesenatichese.

Ora però voglio sapere qual era il modo molto più semplice di risolverlo!!!