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Sia data $ \left\{f_n\right\} $ successione di funzioni reali di variabile reale.
Cosa è la funzione

$ \displaystyle \inf_{n\in \mathbb{N}}f_n $ ????

È la funzione $ f(x) = \inf f_n (x) $

Nel senso che per ogni punto prendi l'inf

Mmm... che senso ha prendere l'inf per ogni punto?
Non conosco precisamente questa notazione, ma mi sembra più sensato considerarla la successione (numerica) degli inf delle f della successione

Albert, così non definisci una funzione, ma un numero ... cmq ha ragione nonno bassotto: di solito con la notazione indicata si intende la funzione che in ogni punto vale l'inf dei valori delle funzioni in quel punto.
Non è una cosa troppo insensata: considera una successione monotona decrescente di funzioni: in questo caso l'inf coincide con il limite puntuale.

mm.. Sì ho capito, in effetti ha più senso anche perchè nella notazione è specificato l'inf per $ $ n \in \mathbb{N} $.

Però guarda che anche quella che ho proposto erroneamente io ha "senso", cioè è una successione (non però una funzione a variabile reale...), definita così: $ \displaystyle a_n = inf f_n (x) $.
Facendo ovviamente attenzione ai casi in cui l'inf è infinito...