Medie Geometriche
Inviato: 02 lug 2007, 09:34
Siano $ \lambda_1, \cdots, \lambda_n $ reali positivi. Dimostrare che:
$ \lambda_1 + (\lambda_1 \lambda_2)^{1/2} + (\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3)^{1/3}+ \cdots + (\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n)^{1/n}= = \sum_{i=1}^n (\Pi_{j=i}^i \lambda_j)^{1/i} \leq (1+1/n)^n (\sum_{i=1}^n \lambda_i ) $
Ho una soluzione con e invece di (1+1/n)^n, ma e' complessa e mi sembra poco elegante. Inoltre usa l'approssimazione di Stirling al fattoriale. Qualche idea?
$ \lambda_1 + (\lambda_1 \lambda_2)^{1/2} + (\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3)^{1/3}+ \cdots + (\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n)^{1/n}= = \sum_{i=1}^n (\Pi_{j=i}^i \lambda_j)^{1/i} \leq (1+1/n)^n (\sum_{i=1}^n \lambda_i ) $
Ho una soluzione con e invece di (1+1/n)^n, ma e' complessa e mi sembra poco elegante. Inoltre usa l'approssimazione di Stirling al fattoriale. Qualche idea?