OliForum Matematico

Dimostrare che
$ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4} $

con $ x $, $ y $, $ z $ reali positivi tali che $ xyz=1 $.

Metodo stranino, ma pare funzioni...

Per Holder (Cauchy grosso):
$ LHS*((1+y)+(1+z)+(1+x))*((1+z)+(1+x)+(1+y)) $$ \ge (x+y+z)^3 $
detto
$ S=x+y+z $ sappiamo che $ S\ge 3 $ per Am-Gm e abbiamo mostrato
$ $ LHS \ge \frac{S^3}{(S+3)^2} $

Ora la funzione $ $ f(X)=\frac{X^3}{(X+3)^2} $ è strettamente crescente in $ [3,+\infty) $, quindi avrà il minimo per $ X=3 $ ma allora

$ $ f(X)\ge f(3)=\frac{3}{4} $ per ogni $ X \in [3,+\infty) $ e avremo in particolare

$ $ \frac{S^3}{(S+3)^2}\ge \frac{3}{4} $ e uguaglianza se ho l'uguaglianza nell'Am-Gm ovvero per tutti 1.

Devo ammettere che mi sfugge come hai usato Holder...

LINK!

In effetti l'Holder delle schede olimpiche è diverso, anche se spesso in ML chiamano Holder quella che ho scritto io nel link, anche se poi non ho mai avuto voglia di postare la dimostrazione, assicuro che è proprio induzione+l'Holder delle schede banale banale... Se proprio non ce la fate la posto ma tekkarla è uno schifo con tutte quelle produttorie

Scusate se riesumo il thread dopo una settimana ma me ne è venuta in mente una più semplice:

Per AM-GM si ha che
$ \displaystyle LHS \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2}} $$ =\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}} $

$ xyz=1 => xy=\displaystyle \frac{1}{z} $

$ \displaystyle z+\frac{1}{z} \ge 2 $

Quindi

$ \displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}}=\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{2^6}}= \displaystyle \frac{3}{4} $

Potrei sapere la fonte di questo problema che mi sembra d'averlo già visto, ma non mi ricordo dove? Grazie

A occhio e croce hai commesso l'errore più comune nel risolvere disuguaglianze (e che però rende la dimostrazione assolutamente nulla) ovvero:

A>=B
A>=C
implica
B>=C

il che è ovviamente falso...

No, secondo me ha fatto l'errore che $ ~ a \ge b $ implica $ ~ \frac 1a \ge \frac 1b $.

Chi ha ragione? Illuminaci, Eucla!

Ohibò quanto son cretina!
No l'errore detto da Boll l'ho presente...mi sa che invece c'ha ragione edriv...
ovvio che non l'ho fatto coscientemente....beh da ora in poi smetto di metter soluzioni
che son per la maggior parte fallimenti e vi sto a guardare ...

EUCLA ha scritto: beh da ora in poi smetto di metter soluzioni
che son per la maggior parte fallimenti e vi sto a guardare ...

Nooooooo mai!
Come ha detto Oscar Wilde: Sbaliando simpara!

edriv ha scritto:
Nooooooo mai!
Come ha detto Oscar Wilde: Sbaliando simpara!

scusate l'OT ma era doveroso

Andrè... I due errori sono equivalenti in questo caso... se fai quell'implicazione al contrario cadi nel mio errore, pensaci