OliForum Matematico

Beh, ora che e' finita la maturita' e ho un po' di tempo ne posto un altro:

sia $ f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} $ una funzione tale che
$ |f(x)-f(y)|\leq (x-y)^{2} $
per ogni $ x,y \in\mathbb{Q} $. Dimostrare che $ f $ e' una funzione costante.

Ovviamente

Lagrange.

Peccato però che la funzione sia definita su Q e non su R...

E se anche fosse definita su R? Non c'è scritto continua, figuriamoci derivabile...

Ma se fosse definita su R potremmo subito dimostrarne la continuità, date le ipotesi. E la derivata è un semplice limite. Credo che sia per questo che l'hanno definita su Q.

A parte che se tu esplicitassi la dimostrazione della continuità e della derivabilità praticamente arriveresti a dimostrare quanto richiede Leblanc senza tirare in ballo Lagrange, l'averla definita su Q o su R è (anche per questo procedimento non elementare) assolutamente indifferente, solo vi è un altro passaggio (pari a quelli della continuità e della derivabilità che tu hai reputato ovvi).

Dunque... se f funziona, funziona anche traslandola in modo tale che f(0)=0

Supponiamo ora che $ f(x_{n+1}) \neq 0 $, e sia $ x_1=0 $.

Costruiamo una scomposizione di $ (x_1,x_{n+1}) $ ponendo $ \displaystyle x_i=x_1 + (\frac{i-1}{n})(x_{n+1}-x_1) $

Per ipotesi abbiamo $ \displaystyle |f(x_{i+1}) - f(x_i) | \leq (x_{i+1}-x_i)^2 $ per ogni i. Sommiamo su i, ottenendo $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} |f(x_{i+1}) - f(x_i)| \leq \sum_{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_i)^2 $
Del resto, la somma dei moduli è maggiore del modulo della somma, da cui

$ \displaystyle |\sum_{i=1}^{n} \left(f(x_{i+1}) - f(x_i) \right)| \leq \sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{n+1}-x_1}{n})^2 $

$ \displaystyle |f(x_{n+1}) - f(x_1)| \leq (n)(\frac{x_{n+1}-x_1}{n})^2 $

Del resto, f(x_1)=0, da cui ancora, siccome per assurdo abbiamo supposto $ f(x_{n+1}) \neq 0 $, possiamo dividere tutto per $ |f(x_{n+1})| $ e avere

$ \displaystyle n \leq (x_{n+1}-x_1)^2 \frac{1}{|f(x_{n+1})|} $, che dovrebbe valere per ogni n, il che è assurdo.

Se ne conclude che $ f(x_{n+1})=0 $, e dunque la funzione è costante.

darkcrystal ha scritto: Del resto, la somma dei moduli è maggiore del modulo della somma, da cui

$ \displaystyle |\sum_{i=1}^{n} \left(f(x_{i+1}) - f(x_i) \right)| \leq \sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{n+1}-x_1}{n})^2 $

$ \displaystyle |f(x_{n+1}) - f(x_1)| \leq (n)(\frac{x_{n+1}-x_1}{n})^2 $

Del resto, f(x_1)=0, da cui ancora, siccome per assurdo abbiamo supposto $ f(x_{n+1}) \neq 0 $, possiamo dividere tutto per $ |f(x_{n+1})| $ e avere

$ \displaystyle n \leq (x_{n+1}-x_1)^2 \frac{1}{|f(x_{n+1})|} $, che dovrebbe valere per ogni n, il che è assurdo.

Se ne conclude che $ f(x_{n+1})=0 $, e dunque la funzione è costante.

tre domande:
- perchè f(x_1)=0
- perchè a un certo punto aggiungi un n e un n^2 (rispettivamente a num e den)
- perchè è assurdo? (cosa che forse avrei capito se avessi magari capito la risposta alle prime 2 domande che ti ho fatto)..

risp please

darkcrystal ha scritto:e sia $ x_1=0 $

Ma hai posto $ x_1=0 $ per comodita' di notazione, o perche' non ti andava di scrivere $ h-7 $?

piever ha scritto:

darkcrystal ha scritto:e sia $ x_1=0 $

Ma hai posto $ x_1=0 $ per comodita' di notazione, o perche' non ti andava di scrivere $ h-7 $?

Perchè se scrivo su un foglio la soluzione ad un modo, e poi cambio qualche lettera, sbaglio. Quindi non cambio lettere. (originariamente, infatti, era un intervallo generico...)

Ora passiamo alle domande serie

Siccome consideriamo solo le differenze tra le immagini della funzione, considerare f(x) o g(x)=f(x)+k è uguale (tanto le differenze si conservano). Quindi possiamo considerare che f(0)=0, aggiungendo alla funzione una opportuna costante, cioè -f(0)

Poi ho costruito gli $ x_i $ in modo tale che la differenza fra due consecutivi sia $ \frac{x_{n+1}-x_1}{n} $, e abbiamo n di queste differenze. Quindi, nella sommatoria, sostituisco ogni differenza con $ \frac{x_{n+1}-x_1}{n} $ e poi, avendo una somma di termini uguali, la scrivo come moltiplicazione (per n).

L'assurdo, infine, è dovuto al fatto che abbiamo $ n \leq $ costante per ogni n... l'ultima volta che ho controllato, i numeri naturali erano superiormente illimitati

perfetto darkcrystal, l'idea era proprio di suddividere l'intervallo in tanti intervallini piu' piccoli, sfruttando il fatto che la funzione $ x^2 $ e' molto schiacciata (insomma varia poco) per valori piccoli di x.
L'unica cosa che non mi spiego e' perche' all'inizio chiami il valore diverso da 0 $ x_{n+1} $... confondi molto le idee, sembra che in qualche modo dipenda da n (platz, penso che qui stia anche la risposta alla tua terza domanda...)
Comunque il problema e' tratto dalla prima giornata del Tst rumeno.