[Teoria dei gruppi] Un problema sugli omomorfismi

[Ani-sama]

Facilino ma direi istruttivo.

Esiste un omomorfismo SURIETTIVO tra $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} $ e $ (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* $ ?

[thematrix]

Io direi di

no,perchè il secondo non è ciclico,e una volta scelto dove mandare 1(che genera il primo),abbiamo scelto dove mandare tutti,cioè nel sottogruppo generato dall'immagine di 1

[hydro]

Esiste un omomorfismo SURIETTIVO tra $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} $ e $ (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* $ ?

$ \left| \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \right| =8 $
$ \left| (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* \right| =4 $

Chiedersi se esiste un omomorfismo suriettivo tra questi due gruppi equivale a chiedersi se esiste un sottogruppo H di ordine 2 in $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} $ tale che $ (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})/H $ è isomorfo a $ (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* $. Ora, $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} $ è ciclico, quindi esiste unico un sottogruppo di ordine 2, ed il quoziente rispetto ad esso è ciclico.
Invece $ (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* $ è trirettangolo, pertanto la risposta è no.

p.s. come si fa il simbolo di isomorfismo in Latex?

[Martino]

\cong