OliForum Matematico

Questo è dedicato a Pig ed è utillimo per capire come funzionano i campi magnetici.

Una particella carica di massa $ m $ e di carica $ q $ entra in un campo magnetico uniforme $ B=Bi $ con velocità iniziale $ v=v_{0x}i+v_{0y}j $ .
Trovare l'espressione facendo l'uso dei versori per la sua velocità v in qualsiasi istante successivo t.

Ricordatevi sempre che siamo matematici e non fisici..il primo che tira fuori equazioni differenziali si piglia una valanga di insulti!

ma è giusto mettere x e y come pedici di v0 quando si usano i versori?
...forse ho un ricordo sbagliato di versore qualcuno me li può chiarire al volo?

dato un vettore (non nullo) si ottiene il suo versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo. Il versore conserva quindi solo le caratteristiche di direzione e verso e perde le dimensioni fisiche e l'intensità. Per questo il modo di scrivere su indicato è coerente

Ecco la bellissima soluzione di cui parlava enomis

Soluzione)Facendo i conti si ricava $ \displaystyle F(t)=qBv_z j - qBv_yk $ (j è il versore sull'asse y, k sull'asse z). Da qua vediamo intanto che la componente x della velocità è costante.
Usando la solita legge di Newton, da lì troviamo:

$ \displaystyle a_z(t)=-\frac{qB}{m} v_y k $
$ \displaystyle a_y(t)=\frac{qB}{m} v_z j $

Ma questo è un bellissimo (...) sistema di equazioni differenziali! Integrando, chiamando in modo giusto le cose e ricavando ottengo:

$ \displaystyle y''=-\frac{q^2B^2}{m^2}y+Roba $

Dove roba è una costante brutta a piacere. La mia conoscenza delle equazioni differenziali è sottozero (sono in quarta e non le ho mai studiate), però mi accorgo che quella roba è molto simile a $ \displaystyle F=-kx $ che è la legge di Hooke... Perciò immagino che una soluzione sia del tipo:

$ \displaystyle y = y_m cos(\frac{qB}{m}t +\phi})+c_1y+c_2y^2 $

E vedo che derivando due volte questa, funziona... Da qua scrivo $ \displaystyle y' $, $ \displaystyle y'' $, impongo che All'inizio il corpo avesse velocità $ \displaystyle v_{0y} $, fosse in y=0 e avesse accelerazione nulla e ricavo:

$ \displaystyle v_y=v_{0y} cos(\frac{qB}{m}t) $

Poi dal sistema di prima ricavo anche:

$ \displaystyle v_z = -v_{0y}sin(\frac{qB}{m}t) $

enomis_costa88 ha scritto:Ricordatevi sempre che siamo matematici e non fisici..il primo che tira fuori equazioni differenziali si piglia una valanga di insulti!

Hehe... parla per te

Ok, posto anche l'altra soluzione che ho trovato... Però quella sopra era più bella.

Soluzione)$ \displaystyle F = qv_{0y}B=mv_{0y}^2/R $ da cui $ R=\frac{mv_{0y}}{qB} $. Questo perchè, essendo la forza sempre perpendicolare alla velocità sul piano y-z, il moto è circolare e anche uniforme. Avendo v ed R, ricavo $ w=qB/m $. Poi, facendo la figura, e scomponendo il vettore velocità tangente alla traiettoria, si vede che $ \displaystyle v_y=v_{0y}cos(wt) $ e $ \displaystyle v_z=-v_{0y}sin(wt) $.

Fine, ma l'altra era più bella!

Pigkappa ha scritto: ... il moto è circolare e anche uniforme......

veramente a me sembra elicoidale e uniforme .....

Parlavo solo del piano y-z, ovviamente...

Pigkappa ha scritto:Ok, posto anche l'altra soluzione che ho trovato... Però quella sopra era più bella.

Soluzione)$ \displaystyle F = qv_{0y}B=mv_{0y}^2/R $ da cui $ R=\frac{mv_{0y}}{qB} $. Questo perchè, essendo la forza sempre perpendicolare alla velocità sul piano y-z, il moto è circolare e anche uniforme. Avendo v ed R, ricavo $ w=qB/m $. Poi, facendo la figura, e scomponendo il vettore velocità tangente alla traiettoria, si vede che $ \displaystyle v_y=v_{0y}cos(wt) $ e $ \displaystyle v_z=-v_{0y}sin(wt) $.

Fine, ma l'altra era più bella!

si ma questa è più matematica!!!

enomis_costa88 ha scritto:Ricordatevi sempre che siamo matematici e non fisici..il primo che tira fuori equazioni differenziali si piglia una valanga di insulti!