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dimostrare che in un triangolo le rette che uniscono i punti medi di un lato a della relativa altezza concorrono nel punto di lemoine.

Non sono accettete le trilineari

qualcuno ha una soluzione?

È abbastanza equivalente a usare le trilineari, ma vabbeh...
In figura L è il punto di Lemoine, il problema è equivalente a dimsotrare che N,L,M sono allineati. Per far questo cerchiamo di usare Menelao su ADE:
$ ~ \frac{AN}{ND} \frac{DM}{ME} \frac{EL}{LA} = 1 $
Ma essendo AN/ND = 1, basta far vedere che:
$ ~ \frac{DM}{ME} = \frac{AL}{LE} $
Ora, poichè il piede della simmediana divide il lato in rapporto ai quadrati degli altri due lati, e per un altro fatto noto, possiamo calcolare che:
$ ~ \frac{AL}{LE} = \frac{b^2+c^2}{a^2} $.
Per calcolare DM uso questo trucchetto che conoscevo:
$ ~ 2DM \cdot a = (CD - BD)\cdot(CD + BD) = CD^2 - BD^2 $$ ~ = (CD^2 + AD^2) - (BD^2 + AD^2) = b^2 - c^2 $
Quindi $ ~ DM = \frac{b^2-c^2}{2a} $.
Resta da trovare ME. Sapendo che $ ~ \frac{BE}{EC} = \frac{c^2}{b^2} $ e $ ~ BE + EC = a $ troviamo $ ~ ME = \frac a2 - \frac{ac^2}{c^2+b^2} $

Ora, buttando tutto dentro, dovrebbe tornare... (e torna, ho controllato)

tutto torna grazie per la soluzione

Considera le antiparallele ai lati passanti per il punto di Lemoine; cmq ne prendi due queste formano le diagonali di un rettangolo inscritto e quindi Lemoine è centro contemporaneo di 3 rettangoli inscritti, per cui (TST 07) è intersezione dei tre segmenti che congiungono il punto medio di un lato con il punto medio dell'altezza relativa.

Ah, prima di spararle grosse su mathlinks, assicurati di avere una dimostrazione...

si hai ragione era una proprietà che pensavo ovvia
certo non andrò a mettere la tua soluzione o quella di edriv su mathlinks (apparte che l'hai già messa)...
e poi era doveroso intervenire, uno sosteneva che concorressero nell'incentro