OliForum Matematico

in un triangolo ABC di circocentro O si costruisca con riga e compasso una retta r passante per O che interseca AC in E e BC in F tale che $ EO=OF $

L'ortocentro dice: "io che centro?"

sarà un hint? o solo uno dei miei soliti errori
p.s. non è che qualche mod potrebbe modificare il titolo?

O forse bisogna modificare il testo, imponendo che la retta passi per l'ortocentro.. anche perché altrimenti è banale.

ok tanto per cambiare mi ero dimenticato di scrivere che r passa per O

grazie pic

up

Alla fine potevi mettere anche H che era uguale... risolviamo il problema generico:
È dato un angolo di vertice A e un punto P interno all'angolo. Costruire una retta per P, che interseca i lati dell'angolo in D,E, in modo che P sia il punto medio di DE.

Soluzione:
Osserviamo che il coniugato armonico di D,E rispetto a P deve essere il punto all'infinito su DE. Quindi la coniugata armonica alle rette AD,AE rispetto ad AP deve essere parallela a DE. Quindi basta costruire la coniugata armonica alle rette AD,AE rispetto ad AP (tre rette che ci sono già date) e tracciare la parallela per P.

Come si fa?
Prendiamo una retta per P che interseca i lati dell'angolo in B,C, prendiamo un punto F su AP, sia G l'intersezione tra CF e AB, sia H l'intersezione tra BF e AC, sia I l'intersezione tra GH e BC, allora (AB,AC,AP,AI) è una quaterna armonica: prendiamo la parallela ad AI per P che interseca AB,AC in D,E. Allora P è il punto medio di DE.

wow anche la generalizzazzione

vabbeh metto la mia soluzione del caso particolare



Costruzione

si costruisce la retta AO che interseca la circonferenza circoscritta a ABC in D e la tangente in D che interseca BC in G. La retta GO è la retta che cerchiamo.


Dimostrazione

per angle chasing il quadrilatero BCJH è ciclico quindi per petenze di un punto rispetto alla crf circoscritta abbiamo

$ \overline{GH} \cdot \overline{GJ} = \overline{GC} \cdot \overline{GB} = \overline{GD}^2 \ \ \ \ \ \ \ (1) $

applicando Menelao su ADJ con la retta GO abbiamo:

$ \overline{DG}\cdot \overline{JE} = \overline{GJ}\cdot \overline{AE} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) $

Per la (1) e la (2) abbiamo:

$ \displaystyle \frac{\overline{JE}}{\overline{AE}} = \frac{\overline{JD}}{\overline{DH}} $

ma allora per talete la retta ED è parallela ad AB e quindi $ OE=OF $