OliForum Matematico

ho questa funzione composta da $ \displaystyle\frac{sinx}{x} $ se $ x\neq 0 $
e 0 se x=0
la funzione è definita e continua su tutto R
devo studiare la derivabilità
Qualche aiutino??

Beh, puoi cominciare a chiederti cosa fa in 0... e da lì ricavi già qualche considerazione interessante... no?
Ah, e a meno di abbagli dubito fortemente che sia continua su tutto $ \mathbb{R} $... ... che sia $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $??

il limite di x che tende a 0 di $ \displaystyle\frac{sen(x)}{x} $ e uno di quei limiti notevoli e vale 1 sia dalla destra che dalla sinistra di 0, la funzione non sarebbe continua in 0, ma io ho un prolungamento per continuità quindi anche li è continua

ho provato a farmi la derivata di f(x)

che è $ \frac{xcos(x)-sen(x)}{x^2} $ e vedere quanto vale in 0,
ma viene una forma indeter, inoltre credo ci siano anche dei flessi........

Sarebbe continua su tutto R se fosse prolungata per continuità, ma invece non lo è. E' solo prolungata per definizione.
Non è continua in 0, quindi non è neanche derivabile; ma lo è in tutti gli altri punti.
Anzi, direi che $ $ \in C^\infty(\mathbb{R} \setminus\{0\} ) $ e ha infiniti punti di massimo e minimi relativi, e altrettanti flessi

Giusto avete ragione entrambi per essere continua in 0 ci sarebbe dovuto stare 1 e non 0 nel prolung.
per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile, ma trovarli è un pò complicato. Come fare??

Ho un piccolo dubbio!
In un punto stazionario una funzione è derivabile in quel punto??
esempio:

f(x)= $ x^3 $ la funzione è derivabile su tutto R pur essendo la derivata prima,in quel punto, uguale a 0??

Mentre invece in f(x)=$ \sqrt[3]{x} $ ho un flesso a tang. verticale, questo implica che la derivata in quel punto non esiste, ho meglio è infinito, quindi la f(x) è derivabile su tutto R-{0}, nell'esempio.Giusto??

Infine nei punti di flesso a tang. abliqua la funzione, ovviamente essendo defin e cont. in quel punto, è derivab. in quel punto??

una funzione f reale di variabile reale è derivabile in un punto x0 se e solo se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale

$ $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $

Prendi la funzione x^3. Esiste ed è finito in x0=0 il limite del rapporto incrementale? Ovviamente sì, e vale 0, quindi la funzione è derivabile in 0.

Prendi la funzione $ \sqrt[3]{x} $, prendi il limite del rapporto incrementale in x0=0. Esiste? sì. E' finito? no. Quindi la funzione non è derivabile in 0.

korkey ha scritto:per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile

Ne sei proprio sicuro?

hydro ha scritto:

korkey ha scritto:per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile

Ne sei proprio sicuro?

no infatti sbagliavo dopo me ne sono accorto.
L'unico punto dove f(x) non è derivabile è x=0

albert_K ha scritto: Non è continua in 0, quindi non è neanche derivabile; ma lo è in tutti gli altri punti.

Credevo che la continuità non implicasse la derivabilità!

Infatti no.
Però la NON continuità implica la NON derivabilità

Non per qualcosa, ma per il solo gusto di sapere mi piacerebbe vedere la dimostrazione se possibile. Grazie.

Ahh...ora che ci penso. E' perfettamente vero, si dimostra facilmente.

È già dimostrato:

$ p = {``f:D \to \mathbb{R}\mbox{ è continua in }x_0"} $
$ q = {``f:D \to \mathbb{R}\mbox{ è derivabile in }x_0"} $

$ q \Rightarrow p \quad \rightarrow \quad \mbox{non }p \Rightarrow \mbox{non }q $