OliForum Matematico

Sia p un numero primo e P(x) un polinomio a coefficienti interi di grado minore di p.

Dimostrare che:
$ \displaystyle p \mid P(x) - P(0) + \sum x^ak^{p-1-a}P(k) $ per ogni intero x, dove la somma si estende a tutti gli interi a,k con $ ~ 1 \le a \le p-1 $ e $ ~ 0 \le k \le p-1 $.

Osservazione: questa identità ci da un modo per calcolare i coefficienti di un polinomio modulo p dati i suoi valori.
Edit: nella sommatoria compare uno 0^0, ecco, qua assumiamo che fa 1.

Scusa se mi intrometto edriv, ma forse la tua uguaglianza e' piu' facile scriverla cosi':

$ \displaystyle P(x)=-\sum_{i=0}^{p-1} \frac{x^p-x}{x-i}\cdot P(i) $


P.S. Questo buffo lemma, tra le altre cose, permette di dimostrare che non esistono polinomi bigettivi modulo p di grado p-1 (p>2).

Bye!

Non è che ti sei intromesso, hai scritto 3/4 della soluzione Infatti anche io son partito da lì, e poi ho esplicitato i coefficienti di $ ~ \frac{x^p-x}{x-k} $ per ottenere la simpatica formuletta finale.

P.S. in risposta al P.S. : tu come l'avevi dimostrata quella roba dei polinomi bigettivi di grado p-1?