OliForum Matematico

Oilà gente

Ciao a tutti! Ho veramente bisogno di un hint su come risolvere questo esercizio (faceva parte di un compito...)

Data la serie

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n^2+1}} $

convergente per il criterio di Leibniz, calcolare il minimo numero di termini da sommare per ottenere una approssimazione della somma con errore minore di $ 10^{-2} $.

Mi accontento di un'imboccata, di un consiglio qualunque!

Grazie

Dunque se non sbaglio c'è un corollario al criterio di Leibniz che dice che se {s_n} è la successione delle somme parziali e s la somma della serie, allora

$ $ |s-s_n| \le s_{n+1} $

forse ti può aiutare una minima...

Io mi ricordo questo teorema
[Convergenza integrale]
La serie $ \sum_{k=0}^\infty f(k)~ $ converge solo se $ f(x)~ $ è integrabile in senso generalizzato a $ +\infty~ $
Nel caso convergente è possibile stimare la differenza tra la somma della serie e la ridotta N-esima (che credo sia quel che serve a te):

$ \displaystyle \sum_{k=N+1}^\infty f(k) \leq \int_N^\infty f(x)dx $

che la tua serie converge già losai, quindi la parte "brutta" dovresti già averla fatta.. detta f(k) (o f(x)) la tua funzione, (il tuo termine della serie) è sufficiente che ti aggiusti gli intervalli di integrazione fino a fare in modo che
$ \displaystyle \int_N^\infty f(x) dx= 0.01 $
trovato l'N per cui questo è vero hai fatto. Però non credo sia facile trovare una primitiva di quella roba là...

Il teorema, così come lo dici, è falso. Può essere vero, ad esempio, se f è positiva decrescente. Non è difficile costruire una funzione, anche continua e positiva, che valga 1 in tutti gli interi e con integrale convergente e piccolo quanto vuoi.

Grazie per tutte le risposte, in effetti il risultato che fa al caso mio è quello citato da Hydro. Qui lo riporta Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

Peccato che sul mio libro non ci sia

Grazie!