OliForum Matematico

Ciao a tutti, è la prima volta che scrivo. Complimenti per il forum!

Ho due dubbi spero di facile risoluzione.
Il primo non c'entra col titolo perchè sicuramente lo risolverete all'istante.

1) in R2 un insieme non è semplicemente connesso se un punto non appartiene al campo di esistenza, perchè la funzione non potrebbe trasformarsi in un punto con continuità. Ma non ho capito perchè in R3 se un punto non appartiene, l'insieme è comunque semplicemente connesso.

2) dato un campo generico F (x,y,z), se il campo è irrotazionale e semplicemente connesso, quindi ammette potenziale, su una qualunque curva al suo interno il lavoro è uguale a zero?
Ho visto un esercizio in cui si chiedeva di calcolare il lavoro su una semicirco nel semipiano positivo di raggio 1 e centro nell'origine. La risposta è stata che la differenza di potenziale è zero (in precedenza era stato calcolato il potenziale del campo) per ciò il lavoro è zero. Fin qua tutto ok, ma non bastava dire che il campo ammette potenziale per ciò il lavoro è uguale a zero?
anche perchè il lavoro se non erro si può calcolare anche con il teorema del rotore e se il rotore è zero, su qualunque linea il lavoro non sarà zero?

spero di essere stato chiaro. sicuramente sono stato prolisso e per ciò mi scuso.

grazie in anticipo

ciao matthew, benvenuto sul forum!
da buon moderatore, devo invitarti a leggere le regole del forum, e ad attenerti ad esse.
poi, questo NON è un forum per universitari/liceali in ricerca di aiuto, ma è nato come (ed è tuttora) un forum di matematica olimpica.

detto ciò, vengo ai tuoi problemi
1) calma, non facciamo confusione: un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $ ha tutta la dignità per essere o meno "semplicemente connesso", a prescindere dal fatto che ci sia un campo di qualche genere definito sopra, o dal fatto che sia il dominio di qualche funzione: diciamo che "semplicemente connesso" vuol dire che puoi "deformare senza strappare un laccio ad un punto" (dove questa frase evidentemente non ha senso). chiaramente, però, il piano senza un punto non ha questa proprietà. però visivamente puoi renderti conto che lo spazio meno un punto ce l'ha, quindi è semplicemente connesso.
poi è vero che un campo irrotazionale su un dominio semplicemente connesso ammette un potenziale, quindi traine le tue conclusioni.
2) un campo che ammetta potenziale ha la proprietà che il suo integrale di linea (quello che tu chiami lavoro, per capirci) è zero su qualsiasi cammino chiuso, non per cammini qualunque! anzi, puoi divertirti a verificare che se l'integrale è 0 su ogni cammino (a prescindere dall'irrotazionalità del campo), allora il campo ammette potenziale costante.
quindi, nel tuo esercizio, non bastava dire che il campo ammetteva potenziale, perché il cammino che hai descritto non è chiuso.

spero di aver fugato i dubbi..

immaginavo che fosse solo per le olimpiadi ma sai la matematica fa sbattere la testa nei muri come poche altre cose per cui ne ho approfittato!

tutto chiaro, anche il fatto che la curva deve essere chiusa. Ho solo 1 ultima domanda a questo proposito:

per calcolare l'integrale di linea si può utilizzare il teorema del rotore giusto?
però se fosse così, considerando che il campo è irrotazionale, verrebbe sempre zero l'integrale di linea.. C'è qualche condizione in cui il teorema non si può applicare?

Grazie mille