Siano $ ~ \omega_1,\omega_2 $ due circonferenze di centro $ ~ O_1,O_2 $ tangenti esternamente in D. Sia $ ~ \omega $ una circonferenza tangente internamente a $ ~ \omega_1,\omega_2 $ in E,F. Sia t la retta passante per D tangente ad $ ~ \omega_1,\omega_2 $ ed AB il diametro di $ ~ \omega $ perpendicolare a t, in modo che $ ~ A,O_1,E $ siano dalla stessa parte.
Dimostrare che $ ~ AO_1,BO_2,EF $ concorrono.
Tre circonferenze mutuamente tangenti e concorrenza
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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il problema è equilavente a questo:
in un triangolo ABC chiamiamo D,E e F i piedi delle altezze da A,B e C, M il punto medio di AB, H l'ortocentro.
Presa una retta s parallela ad AB per H e chiamiamo $ J: s \cap MD $ e $ I: s \cap ME $.
Dimostrare che AI, BJ e CF concorrono.
Chiamiamo K l'intersezione tra AI e BJ; allora essendo I,H e J allineati per Pappo Pascal K sta su ED poiche gli altri cinque punti della conica (A,M,B,D,E) stanno sulle due rette AB e DE.
applicando ceva trigonometrico nel triangolo HDB otteniamo:
$ \displaystyle \frac{\sin{\angle {DBJ}}}{\sin{\angle {JBH}}} = \frac{\sin{\angle{DHJ}}}{\sin{\angle{JHB}}} \ \frac{\sin{\angle{JDB}}}{\sin{\angle{JDA}}} = \frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}} \ \frac{\frac{c\sin{\beta}}{2DM}}{\frac{c\cos{\beta}}{2DM}} = \frac{\sin{\beta}}{\cos{\alpha}} $
applico ceva trigonometrico a EBC per dimostrare che BJ, ED e CF concorrono:
$ \displaystyle \frac{\sin{\angle {DBJ}}}{\sin{\angle {JBH}}} \ \frac{\sin{\angle {CED}}}{\sin{\angle {DEB}}} \ \frac{\sin{\angle {BCF}}}{\sin{\angle {FCA}}} = \frac{\sin{\beta}}{\cos{\alpha}} \ \frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} \ \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} = 1 $
quindi abbiamo che CF passa per K e quindi che CF, DE, AI, BJ concorrono.
in un triangolo ABC chiamiamo D,E e F i piedi delle altezze da A,B e C, M il punto medio di AB, H l'ortocentro.
Presa una retta s parallela ad AB per H e chiamiamo $ J: s \cap MD $ e $ I: s \cap ME $.
Dimostrare che AI, BJ e CF concorrono.
Chiamiamo K l'intersezione tra AI e BJ; allora essendo I,H e J allineati per Pappo Pascal K sta su ED poiche gli altri cinque punti della conica (A,M,B,D,E) stanno sulle due rette AB e DE.
applicando ceva trigonometrico nel triangolo HDB otteniamo:
$ \displaystyle \frac{\sin{\angle {DBJ}}}{\sin{\angle {JBH}}} = \frac{\sin{\angle{DHJ}}}{\sin{\angle{JHB}}} \ \frac{\sin{\angle{JDB}}}{\sin{\angle{JDA}}} = \frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}} \ \frac{\frac{c\sin{\beta}}{2DM}}{\frac{c\cos{\beta}}{2DM}} = \frac{\sin{\beta}}{\cos{\alpha}} $
applico ceva trigonometrico a EBC per dimostrare che BJ, ED e CF concorrono:
$ \displaystyle \frac{\sin{\angle {DBJ}}}{\sin{\angle {JBH}}} \ \frac{\sin{\angle {CED}}}{\sin{\angle {DEB}}} \ \frac{\sin{\angle {BCF}}}{\sin{\angle {FCA}}} = \frac{\sin{\beta}}{\cos{\alpha}} \ \frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} \ \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}} = 1 $
quindi abbiamo che CF passa per K e quindi che CF, DE, AI, BJ concorrono.