OliForum Matematico

Sia A un insieme finito di sottoinsiemi di $ ~ \mathbb{N} $, la cui unione è proprio $ ~ \mathbb{N} $.

Dimostrare che esiste un elemento $ ~ X \in A $ tale che, per ogni intero positivo m, X contiene infiniti multipli di m.

Figo come problemino-ino-ino (mi ricorda molto uno di un vecchissimo giornale di quasi 3 anni fa, tipo il primo problema veramente carino che abbia risolto)..dai due soluzioni visto che nessuno ci si mette!

Prima:
Al passo i esimo elimino gli insiemi che hanno un numero finito di multipli di i!:
Se da un certo passo k in poi otterrò un solo insieme (ed esiste almeno un'insieme poichè se tutti contenessero un numero finito di multipli di k!....) allora quello dovrà contenere tutti i multipli abbastanza grossi di k! e quindi infiniti multipli di ogni numero.
Se non esiste tale k bè tanto meglio

E seconda:

se non ci fosse tale insieme ciascun insieme i dovrebbe contenere un numero finito di multipli di almeno un numero k_i (che dipende dall'insieme scelto).
La produttoria dei k_i la chiamo P.
Ciascun'insieme contiene un numero finito di multipli di P.
Assurdo
Ciao!

Ok! Molto breve la seconda soluzione.

Multipli di m, ma come sei noioso edrive...

Sia B un insieme (di cardinalita' infinita) e F un suo filtro non banale, e A una famiglia finita di sottoinsiemi di B la cui unione e' B.

Dimostrare che esiste un elemento $ ~ X \in A $ tale che, per ogni $ f\in F $, $ |X\cap f|=\infty $


(in realta' la dimostrazione di enomis vale anche per questa tesi, ma enunciato cosi' il problema e' molto piu' fiQo...)

edit: ah edrive, l'avevo detto che eri noioso..

Sarò noioso ma almeno come l'avevo annunciato io il problema era perfettamente accessibile a tutti gli utenti del forum (link)

Che poi la generalizzazione non la capisco neanche io...
- immagino che supponi che B sia infinito
ed ora:
- se supponi A finito, esiste un elemento di A con cardinalità infinita, e quindi banalmente la sua unione con qualsiasi insieme ha cardinalità infinita
- se non supponi A finito, prendiamo A = insieme dei {b} con b in B. Allora la tesi diventa equivalente al fatto che ogni elemento del filtro sia infinito, che:
- se per "non banale" intendi "l'intersezione di tutti i suoi elementi è l'insieme vuoto", ci sto
- altrimenti no
Altre interpretazioni:
al posto dell'unione ci metto un'intersezione. Allora bisogna aggiungere 3 ipotesi perchè la tesi funzioni:
- B infinito
- A finito

Ah dimenticavo: complimenti a piever per la bella generalizzazione!