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Una fune di massa m e lunghezza L pende dal soffitto.

1) mostrare che la velocità di un'onda trasversale sulla fune è una funzione di y, la distanza dall'estremo inferiore della fune, data da $ v=\sqrt{gy} $
2)Il tempo di percorrenza della fune da parte dell'onda è dato da $ t=2\sqrt{\frac{L}{g}} $

Il problema sembra davvero carino..ma per il secondo punto mi chiedevo se esistesse una soluzione decente (io ho usato una brutta differenziale) vabbè buon lavoro!

Vabbè io avevo pigliato la formula del primo punto e ci avevo messo di mezzo t ottenendo una differenziale del tipo $ f'(x)=k \sqrt{f(x)} $
che ha soluzione $ f(x)=(\frac{k}{2}x)^2 $

(vabbè non è che ci abbia messo poi tanto di più..bè capito che l'idea è scrivere dt=ds/v anche se ciò che hai scritto è scritto veramente male)

Aggiungendo ulteriori richieste:
Se una massa $ $M$ $ è appesa al filo, si mostri che

(a) il tempo che impiega un'onda trasversale per percorrere l'intera corda è
$ $t=2 \sqrt {\frac{L}{mg}}\left[ \sqrt {(M+m)}- \sqrt {M} \right ]$ $

(b) se $ $m\ll M$ $, si mostri che l'espressione fornita in (a) è ben approssimata da
$ $t=\sqrt{\frac{mL}{Mg}}$ $

è il punto (b) che non mi viene...

Il b) è così facile facile Carino anche il primo punto comunque.

per $ ~x\ll1 $, $ ~(1\pm x)^{\alpha} \approx 1\pm \alpha x $
(te ne puoi convincere in due minuti con il polinomio di Taylor)

Quindi:
$ \displaystyle \sqrt{M+m} - \sqrt{M} = \sqrt{M(1+m/M)} - \sqrt{M} = $

$ \displaystyle = \sqrt{M}\left[\left(1+\frac {m}{M}\right)^{1/2} -1 \right]= $

$ \displaystyle = \sqrt{M}\left(1+\frac{m}{2M} -1 \right) $

Sostituendo in quello di prima:

$ \displaystyle t = 2\sqrt{\frac{LM}{mg}}\frac{m}{2M} $

il due va via e portando dentro la radice arriva subito:


$ \displaystyle t = \sqrt{\frac{mL}{Mg}} $

Ok capito!
L'approssimazione che hai usato devo averla vista per sbaglio chissà dove... comunque non me la ricordavo; è un'ingiustizia che a scuola non abbia fatto taylor... sembra divertente

Neanche io l'ho studiato. Ma per studiare fisica è quasi indispensabile