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Dato un triangolo con la denominazione standard (come sulle schede olimpiche insomma), e detta S l'area e s il semiperimetro, provare che

$ (s-a)r_a=S $

e che
$ \displaystyle\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r} $

preso dal Coxeter- geometry revisted, all'inizio ci ho tribolato ma con una buona figura si vede tutto

EDIT: $ ~r_a $ è il raggio dell'excerchio tangente ad a e $ ~r $ è l'inraggio

perdona l'ignoranza ma con $ r_a $ e $ r $ cosa intendi?

Il divertente del Coxeter è che quando mettono due problemi di fila, il primo implica il secondo...

Con un buon disegno si vede che il triangolo rettangolo di ipotenusa AE_a (dove E_a è centro dell'excerchio su a) e cateto r_a ha area sr_a/2, quindi nell'espressione (s-a)r_a= sr_a -ar_a il primo addendo è l'area di un certo quadrilatero, il secondo è la somma delle aree di altri due quadrilateri e ci siamo.
Poi segue appunto che S(1/r_a+...)= s e dunque 1/r_a+...=s/S=1/r

[chiamiamo I l'incentro, O l'excerchio interessato e i punti di tangenza di incerchio e excerchio su AC rispettivamente D e E e su CB rispettivamente F e G]

il quadrilatero CDIF è simile a CEOG per omotetia quindi $ \displaystyle r_a = r \cdot \frac{CE}{CD} = \frac{S}{p} \cdot \frac{p}{p-a} = \frac{S}{p-a} $

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Relazioni tra gli exraggi e 1) la superficie 2) l'inraggio

Relazioni tra gli exraggi e 1) la superficie 2) l'inraggio