Esiste un modo più simpatico per farlo, sicuramente, ma i miei vaneggiamenti mattutini mi hanno portato a questo.
Supponendo che la corrente scorra verso sinistra, e che il nostro amico sia abbastanza intelligente da non remare in direzione della corrente bensì controcorrente, allora può remare in una direzione che forma con la riva del fiume (che si suppone rettilinea) un angolo $ \alpha \leq \pi/2 $
Detto ciò, si può calcolare il tempo $ t_1 $ che impiegherà ad attraversare il fiume in barca, sommandolo al tempo $ t_2 $di percorrenza a piedi della riva per raggiungere l'arrivo (può anche spostarsi prima di imbarcarsi, sulla riva di partenza, non cambia molto).
Andiamo in ordine:
$ \displaystyle t_1 = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } $
Avendo supposto che l'amico remi controcorrente, nel tempo t1 avrà percorso una distanza, parallelamente alle rive del fiume, che dovrà poi colmare a piedi. Il tempo di percorrenza a piedi è quindi:
$ \displaystyle t_2 = \frac {t_1 \cdot | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h} $
Il valore assoluto è giustificato dal fatto che, a seconda di $ \alpha $, il tizio può approdare sull'altra riva a destra o a sinistra del punto opposto, e in ogni caso deve arrivarci a piedi.
Il tempo totale è quindi la somma tra i due, ovvero
$ \displaystyle t_{tot} = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } \left( 1 + \frac { | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h}\right) $
Poi, tanti auguri con l'analisi (che io so veramente poco
). I casi particolari mi sembra siano due:
Quando il marinaio rema dritto verso la riva, $ \alpha = 0 $ allora l'espressione assume il valore (calcolabile anche a occhio con due moltiplicazioni) di $ 7/30 \, h = 14 \, min $
Quando il marinaio approda direttamente sul punto, allora $ t_2 $ va a zero, quindi $ \cos \alpha = 2/3 $. Allora $ \sin \alpha = \sqrt{5}/3 $, e $ \displaystyle t_1 = \frac{\sqrt{5}}{10} \, h = 13,416 \, min $, che mi sa tanto (a naso eh!) di lower bound.
Imploro chi è più esperto di me di valutare, correggere, e se sbaglio insultare a piacimento.
EDIT: ma perchè ho imposto che il tipo remi controcorrente, quando la formula funziona anche per $ \alpha \leq \pi $ ?
