2002!
Inviato: 28 lug 2007, 00:48
determinare con quanti zeri termina in base 12 il fattoriale di 2002
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2002!
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Inviato: 28 lug 2007, 12:23
997?
Inviato: 31 lug 2007, 15:25
Un problemino sui fattoriali! E' quello che ci vuole per sgranchirmi un po'!! 
Allora per sapere con quanti zeri termina 2002! mi basta contare i fattori 12 presenti nel numero (così come in base 10 mi basta contare i fattori 10). Essendo 12=3*4, devo contare i fattori 3 e 4.
Per l'identità di Legendre-De Polignac si ha che la massima potenza di $ p $ (primo) che divide $ n! $ è $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor $.
Quindi si ha che il numero di fattori 3 in 2002! è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{3^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{3^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{3^6}\right\rfloor=1071 $
Mentre il numero di fattori 2 è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{2^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{2^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{2^{10}}\right\rfloor=1995 $. I fattori 4 sono la metà, cioè 997.
Essendo meno dei fattori 3, si ha che la massima potenza di 12 che divide 2002! è $ 12^{997} $. Quindi il numero in base 12 termina con 997 zeri, come già detto da Zoidberg!
Allora per sapere con quanti zeri termina 2002! mi basta contare i fattori 12 presenti nel numero (così come in base 10 mi basta contare i fattori 10). Essendo 12=3*4, devo contare i fattori 3 e 4.
Per l'identità di Legendre-De Polignac si ha che la massima potenza di $ p $ (primo) che divide $ n! $ è $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor $.
Quindi si ha che il numero di fattori 3 in 2002! è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{3^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{3^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{3^6}\right\rfloor=1071 $
Mentre il numero di fattori 2 è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{2^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{2^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{2^{10}}\right\rfloor=1995 $. I fattori 4 sono la metà, cioè 997.
Essendo meno dei fattori 3, si ha che la massima potenza di 12 che divide 2002! è $ 12^{997} $. Quindi il numero in base 12 termina con 997 zeri, come già detto da Zoidberg!