OliForum Matematico

Giusto perchè ogni tanto rifaccio TdN anch'io... tempo fa sia io che il buon vecchio stortone lo risolvemmo in modo atroce, ma ora ho trovato una soluzione più bellina

Provare che

$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \tau(k)=\sum_{k=1}^{n}[{\frac{n}{k}] $

dove $ ~\tau(\cdot) $ rappresenta il numero di divisori e $ ~[\cdot] $ la parte intera di un numero

Induzione su n?
vi risparmio il passo base..

Sia f(n) il lhs allora avrò che:
$ f(n+1)=f(n)+\tau(n+1) $
e$ [\frac{n+1}{k}]=[\frac{n}{k}] $ sse k non divide n+1
altrimenti per ogni divisore di n+1 sarà
$ [\frac{n}{k}] +1=[\frac{n+1}{k}] $
per cui c’è la stessa ricorsione anche per il rhs..

enoRmis ha ammazzato questo problema con le sue brutte e puzzolenti ricorsioni
ma noi vogliamo una soluzione più bella vero?

su gente, come diceva il buon vecchio HiTLeuLeR, una soluzione di 3 righe è troppo lunga per essere una buona soluzione trovatene una più corta (e bella)