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$ \dysplaystyle (\sum_{i=0}^m a_i)^n $=$ \sum_{\sum_{j=0}^m b_j(intero non negativo)=n;b_1 \geq\ b_2 \geq\ ... \geq\ b_n} $$ \frac {n!}{\prod_{l=1}^m b_l! \prod_{q=0}^n c_q!} \sum_{sym} \prod_{k=1}^m {a_k}^{b_k} $
dove $ c_q $ è il numero di elementi $ b_i $ che sono uguali a $ q $(ce l'ho dovuto mettere per il fatto che nella sommatoria simmetrica se ci sono dei numeri con esponenti uguali si crea un coefficiente uguale a $ \prod_{q=0}^n c_q! $).
EDIT: adesso, con queste correzioni dovrebbe essere proprio giusta
questa l'ho ottenuta ragionando sulla combinatoria. Per verifica diretta sembrerebbe giusta... essendo la generalizzazione del teorema del binomio di Newton mi chiedevo se già esistesse ( e se è giusta prima di tutto...)
comunque volendo inserire la sommatoria simmetrica ho solo incasinato le cose. Adesso la riscrivo senza la sommatoria simmetrica.

OT: usa le parentesi graffe nel tex

cmq ho guardato solo l'ultimo elevamento a potenza visto ke molta della roba prima va oltre la mia comprensione

$ (\sum_{i=0}^m a_i)^n $=$ \sum_{\sum_{j=0}^m b_j(intero non negativo)=n} \frac {n!}{\prod_{l=1}^m b_l } \sum_{sym} \prod_{k=1}^m a_k^{b_k} $

si hai ragione: messa così sembra una formulaccia, ma in realtà tradotta in termini pratici è molto più semplice di quanto possa apparire. Faccio un esempio pratico. Se questa formula è vera allora
$ (a+b+c+d)^4=24/(1*1*1*1)abcd $
$ +24/(2*2*1*1)(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2) $
$ +24/(2*1*1*1)(a^2bc+a^2bd+a^2cd+b^2ac+b^2ad+b^2cd+c^2ab+ $
$ c^2ad+c^2bd+d^2ab+d^2ac+d^2bc) $
$ +24/(6*1*1*1)(a^3b+a^3c+a^3d+b^3a+b^3c+b^3d+ $$ c^3a+c^3b+c^3d+d^3+s^3b+d^3c)+ $
$ 24/24(a^4+b^4+c^4+d^4) $
spero sia chiaro.
Ciò che volevo sapere è: questa formula è sbagliata? e se è giusta esiste?
e se esiste non viene studiata alle superiori? perchè io conoscevo solo la formula per n=2 (teorema del binomio di Newton)

Se ho capito cosa intendi... http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem

darkcrystal ha scritto:Se ho capito cosa intendi... http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem

si esattamente questa: stavo proprio per riscriverla così levando la sommatoria simmetrica che rendeva lunga la cosa e mi stava facendo impazzire. Comunque, come mai non si studia questa formula alle superiori (si fa solo il teorema del binomio di Newton)?

Ci sono molte cose che, per forza di cose, non si possono studiare alle superiori...

Pigkappa ha scritto:Ci sono molte cose che, per forza di cose, non si possono studiare alle superiori...

Direi ineccepibile!