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l'altezza di un vertice di un triangolo acutangolo ABC incontra il lato opposto in D. Da D si costruiscono le perpendicolari DE e DF agli altri due lati. Provare che la lunghezza di EF è indipendente dal vertice scelto.

vogliamo calcolare il lato del triangolo pedale relativo al punto D. Sia wlog A il vertice da cui conduciamo l'altezza AP, allora si ha $ EF=\frac{ax}{2R} $ dove R è il circoraggio x è la distanza di D da A, vale a dire la lunghezza dell'altezza uscente da questo vertice. Ma l'altezza da A è lunga $ \frac{2S}{a} $ (S è la superficie) perciò $ EF=\frac{S}{R} $, quindi la sua lunghezza non dipende dal vertice considerato

perfetto salva! ok rilanciamo, evidentemente era troppo semplice:

dimostrare che i vertici dei 3 segmenti stanno su una circonferenza e determinare il centro di essa

nessuno ci prova? dai che è facile

Per "i tre segmenti" intendi $ DE , DF $ ed $ EF $ oppure $ DE , DF $ e l'altezza?
Comunque la domostrazione non credo cambi.
Sia $ A $ il vertice da cui parte l'altezza.
E' banale verificare che $ DEAF $ è ciclico e quindi i vertici di $ DE , DF , EF $ e $ AD $ appartengono alla stessa circonferenza.
Dato che $ AED $ è rettangolo per ipotesi allora l'altezza $ AD $ sarà diametro della circonferenza e di conseguenza il centro sarà il suo punto medio.
Spero di non aver detto castronerie



Ps: scusate l'ignoranza, ma cosa è un triangolo pedale? e che significa wlogA?

si certo, quello è veramente banale e infatti non era quello che intendevo, io intendevo i tre segmenti congruenti (i tre EF ottenuti dai 3 vertici).
in altre parole che i 6 punti stanno su una stessa crf

comunque wlog = without loss of generality

Scusa il fraintendimento e grazie per l'informazione

forse questa figura può aiutare

A beneficio dell'apprendista stregone...
Un triangolo pedale (rispetto a un punto P interno al triangolo) è quello che si ottiene congiungendo i piedi delle perpendicolari da P a ogni lato del triangolo...
Il siddetto triangolo ortico è il triangolo pedale riferito all'ortocentro, mentre quello mediale lo è in riferimento al circocentro...