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Dimostrare che uno spazio vettoriale su un campo infinito non è unione di un insieme finito di suoi sottospazi propri.

Fin qui ci sto, ma non basta.

Metti che l'unione di 3 sottospazi è un sottospazio... cosa puoi dire in questo caso?

lol, edriv!
ci credi che io e talpuz stavamo discutendo una soluzione elementare della cosa circa 15 giorni fa? e che ero in dubbio sul postarlo o meno sul forum?

comunque, per $ \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $ ci sono soluzioni via misura di lebesgue o teorema di baire.
la soluzione per campo infinito è carina, meno pesante..
magari la posto tra un paio di giorni :p

Hmm vediamo se così funziona:
1) sia $ \dim V=2 $, fissiamone una base e sia $ \displaystyle{V=\bigcup_{i=1}^nU_i} $ con $ dim U_i=1 $; allora ogni sottospazio $ U_i $ contiene esattamente un solo elemento della forma $ (1,m_i) $. Poiché il campo base è infinito, esiste $ m\neq m_i $ per i=1,...,n e dunque esiste $ (1,m) $ che non sta in nessun $ U_i $. Quindi assurdo.
2) sia $ \dim V=3 $ e supponiamo che $ \displaystyle{V=\bigcup_{i=1}^n U_i $; possiamo dire che $ \dim U_i=2 $ e sia $ U\neq U_i $ per i=1,...,n (uno spazio vettoriale su un campo infinito ha infiniti iperpiani). Allora
$ \displaystyle{U=\bigcup_{i=1}^n U_i\cap U} $ ma per le solite formule di Grassman $ \dim(U\cap U_i)=1 $ e dunque abbiamo scritto U (che cmq è uno spazio vettoriale di dimensione 2) come unione di un numero finito di suoi sottospazi di dimensione 1. Questo è assurdo.
3) e via così.
Funziona?

Ok, la mia soluzione era questa:
Se A è un sottospazio proprio, $ ~ x \not \in A $, allora una retta per x interseca A in al più un punto.
Dimostrazione: $ ~ \lambda w + x \in A, \lambda' w + x \in A \Rightarrow (\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}) x \in A $.

Siano $ ~ A_1,A_2,\ldots,A_n $ i sottospazi.
Prendo un punto x che non è in $ ~ A_1 $, un punto y che non è in $ ~ A_2 $, e sulla retta xy c'è sicuramente un punto z nè in $ ~ A_1 $ nè in $ ~ A_2 $. Prendo un punto k che non è in $ ~ A_3 $ e sulla retta zk trovo un punto che non è in $ ~ A_1,A_2,A_3 $. Prendo un punto $ ~ \aleph $ in $ ~ A_4 $ e ...

beh, non limitiamoci ai sottospazi vettoriali, ma prendiamo pure i sottospazi affini, e lavoriamo per induzione sulla dimensione dello spazio vettoriale.

diamo un po' di nomi alle cose: abbiamo $ V $ spazio vettoriale di dimensione $ n $, ed $ m $ sottospazi affini $ V_i $.
la nostra tesi sarà in realtà molto più forte: su ogni iperpiano $ H $ diverso da ogni $ V_i $ c'è un punto che non sta in nessuno dei $ V_i $. intanto, senza perdita di generalità, possiamo supporre che ogni $ V_i $ sia un iperpiano.
lavoriamo per induzione su $ n $, come preannunciato: per il lemmino di edriv (che segue dalla formula di grassmann, in maniera pulita), su $ V_1^\perp $ c'è un punto $ p $ che non sta su nessun $ V_i $: consideriamo l'iperpiano $ H $ parallelo a $ V_1 $ passante per $ p $.
per il passo induttivo, su $ H $ c'è un punto che non appartiene a nessun $ V_i\cap H $.