OliForum Matematico

Ogni tanto si trova qualcosa di carino anche nei problemi della galileiana..per esempio..

Determinare tutte le funzioni f(x) derivabili quante volte vuoi tali che f di un polinomio di secondo grado sia ancora un polinomio di secondo grado.

Buon lavoro.
PS quota 500

Sarà che sono fuori allenamento, sarà che questi problemi non mi sono mai piaciuti... ma mi sembra troppo semplice.
$ f(x^2)=ax^2+bx+c $ per hp;
$ f(y)=f(\sqrt{y}^2)=ay+b\sqrt{y}+c $ per y>=0
$ f(x^2+1) $ deve essere un polinomio di secondo grado, dunque $ f(x^2+1)=... + b\sqrt{x^2+1} $ deve essere un polinomio, dunque b=0
Perciò $ f(y)=ay+c $ sui positivi; similmente (usando -x^2) è una retta sui negativi; però è derivabile in 0 perciò è la STESSA retta. La risposta dunque sarebbe: tutte e sole le funzioni affini.

Ripeto, però, che questa cosa mi convince pochissimo...

darkcrystal ha scritto:$ f(x^2+1) $ deve essere un polinomio di secondo grado, dunque $ f(x^2+1)=... + b\sqrt{x^2+1} $ deve essere un polinomio, dunque b=0
(...)

Ripeto, però, che questa cosa mi convince pochissimo...

ok ok era molto più una cavolata di quanto pensassi
ritiro non ci sono problemi carini tra i test in galileiana

Pensare che c'è gente che si mette a derivare per dimostrare che quella roba è un polinomio solo se b=0, certo che fare questi problemi senza carta e penna è sempre una brutta cosa