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assegnata nel piano una unità di misura per le lunghezze ed un punto P, costruire un triangolo equilatero ABC in modo che P sia interno ad ABC e le distanze da A, B, C valgono rispettivamente 2, 3, 4.

good luck

Se non ho fatto male i calcoli, il lato dovrebbe essere uguale a

1/2*(58+18*5^(1/2))^(1/2) = 4,956...

Se poi poniamo P = (0;0) e A = (2;0), i punti B e C sono dati da:

B = (-3/8-9/8*5^(1/2) ; 3/8*3^(1/2)*5^(1/2)-3/8*3^(1/2)) = (-2,890... ; 0,8028...)

C = (11/8-9/8*5^(1/2) ; -11/8*3^(1/2)-3/8*3^(1/2)*5^(1/2)) = (-1.140... ; -3.8339...)


Francesco Daddi

e l'amico apollonio non si tocca?

prendiamo un triangolo equilatero ABC e un punto P nel piano. il luogo dei punti P per cui $ AP = 2BP $ è la circonferenza di apollonio il cui centro sta su AB.
D sta sul segmento AB in modo che $ AD = 2DB $ e E è il simmetrico di A rispetto a B. Allora E e D stanno sulla circonferenza di apollonio e sul suo diametro, quindi il centro di tale crf sta nel loro punto medio O (il simmetrico di D rispetto a B) e il suo raggio sarà $ R_1 = \frac{3}{2} l $
per lo stesso discerso il luogo dei punti P tali che $ BP = 3CP $ è una crf di apollonio il cui centro sta sulla retta BC. Chiamiamo M il punto medio di BC e N il punto medio di BM, e F il simmetrico di M rispetto a B. Allora il centro sarà il puto medio K di NF e il raggio $ R_2 = \frac{3}{8}l $

ora proviamo a calcolare KO, usando carnot sul triangolo OKB

$ KO = \sqrt{\frac{1}{9}l^2 + \frac{1}{64} l^2 - \frac{1}{24} l^2} = \sqrt{\frac{49}{576} l^2} = \frac{7}{24} l $

ma allora $ KO + R_1 = R_2 $ e quindi le due crf di apollonio sono tangenti nel punto P cercato.

Ma abbiamo che $ PA \cdot BC + PB \cdot AC = 2l + l = 3l = PC \cdot BA $ e quindi per tolomeo APBC è ciclico e quindi $ \angle APB = 120 $

ma allora per carnot su APB

$ l = \sqrt{1 + 4 + 2} = \sqrt{7} $


p.s. direi che questo problema è di geometria


EDIT doveroso... solo ora mi sono accorto di aver affrontato tutto il problema credendo che le distanze fossero 1, 2 e 3

ok cerco di rimediare

stesso ragionamento, partiamo da un triangolo equilatero di lato 1 e tentiamo di trovare P. (il problema è equilavente a trovare il triangolo equilatero dato P perchè poi con una omotetia di fattore opportuno e con traslazioni basta mandare il punto trovato nel punto di partenza)

sempre per apollonio costruiamo la crf $ \Gamma_1 $ che è il luogo dei punti per cui $ 3AP=2PB $. Trovati i due punti D e E su AB che soddisfano il loro punto medio O è il centro e DE il diametro e si trova velocemente che $ OA = \frac{4}{5} $ e che il raggio vale $ R_1 = \frac{6}{5} $

ugualmente la crf $ \Gamma_2 $che è il luogo dei punti per cui $ 4BP=3PC $ ha il centro K su BC tale che $ KB = \frac{9}{7} $ e $ KC = \frac{16}{7} $ e di raggio $ R_2 = \frac{12}{7} $

$ P: \Gamma_1 \cap \Gamma_2 $