sns 1999/2000 #5

[bruno222]

Sia T un triangolo avente lati di lunghezza $ \ a,b,c $ e siano $ \ h_a,h_b,h_c $ le altezze rispettive. Indicata con A l'area del triangolo, si mostri che se vale l'equazione
$ \ 6A=(a h_b)+(b h_c)+ (c h_a) $
allora T è un triangolo equilatero.


Io l'ho risolto così:

supponiamo senza perdere generalità che $ \ a\geq b\geq c > 0 $

per il teorema di carnot (o del coseno) $ \ a^2=b^2 + c^2 - 2 bc cos\alpha $ e cicliche quindi $ cos\alpha=(b^2+c^2-a^2)/2bc $ $ \ cos\beta= ( a^2+c^2-b^2)/2ac $ $ cos\gamma=(a^2+b^2-c^2)/2ab $ e
$ sin\alpha=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4} /2bc $ , $ sin\beta=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4}/2ac $ , $ sin\gamma=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4} /2ab $ (2)
come si puo notare i numeratori delle frazioni che esprimono i seni sono tutti uguali e li chiamiamo B.
ora l'area del triangolo è uguale al semi-prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso quindi $ \ 2A=ac sin\beta = bc sin\alpha = ab sin\gamma $
e $ 6A= ac sin\beta + bc sin\alpha + ab sin\gamma $ ora vogliamo dimostrare che $ ac sin\beta + bc sin\alpha + ab sin\gamma \leq a h_b+b h_c+c h_a $ innansitutto $ \ h_a= b sin\gamma $ $ \ h_b= c sin\alpha $ $ \ h_c= a sin\beta $ quindi $ ac(sin\alpha - sin\beta) + ab(sin\beta - sin\gamma) +cb (sin\gamma - sin\alpha) \geq 0 $ sostituendo ai seni le formule della 2 e semplificando i B (sempre positivi) si ottiene
$ \ ac({\frac{1}{bc}}-{\frac{1}{ac})+ab({\frac{1}{ac}}-{\frac{1}{ab})+cb({\frac{1}{ab}}-{\frac{1}{bc})\geq 0 $ quindi $ \ a^2c^2- abc^2+a^2b^2-a^2bc+c^2-ab^2c \geq 0 $ a questo punto poniamo $ a= c + k, b=c+h, c=c ,con ,k\geq h \geq 0 $
svolgendo i calcoli si ottiene $ c^2k^2+ck^2h+h^2c^2+k^2h^2 \geq 0 $ che è sempre verificato e l'uguaglianza si ha per h=k=0 quindi per a=b=c, ciò dimostra che se vale l'uguaglianza il triangolo T è equilatero
Questa è la mia soluzione .... fatemi sapere se secondo voi va bene..un saluto
Bruno

[salva90]

Mmh... credo ci sia una soluzione più semplice

$ ah_a+bh_b+ch_c=ah_b+bh_c+ch_a $

chiaramente si tratta di riarrangiamento, del quale il LHS rappresenta il minimo possibile (se a è il più grande dei lati h_a è la più piccola delle altezze...), di conseguenza se vale l'uguale dev'essere $ ~a=b=c $ e $ h_a=h_b=h_c $

giusto perchè oggi mi piace risolvere algebricamente i geometrici

[Sepp]

...forse due allora.

$ ah_{b} + bh_{c} + ch_{a} = 2A\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \geq 6A $

[salva90]

beh si, ma se guardi bene è la stessa soluzione: il fatto che la roba tra parentesi sia maggiore o uguale a tre segue direttamente dal riarrangiamento

[jordan]

piu semplicemente segue da AM-GM

[mrossi]

Scusa jordan la tua cosa significa?

Comunque va bene cosi?

Per qualsiasi triangolo vale $ \frac{ah_a}{2} + \frac{bh_b}{2} + \frac{ch_c}{2} = 3A $ e quindi $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $ e quindi la tesi?

[Maioc92]

Scusa jordan la tua cosa significa?

Comunque va bene cosi?

Per qualsiasi triangolo vale $ \frac{ah_a}{2} + \frac{bh_b}{2} + \frac{ch_c}{2} = 3A $ e quindi $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $ e quindi la tesi?

cosi hai dimostrato che se il triangolo è equilatero allora vale l'equazione,ma non il viceversa. Quella di cui parla jordan è la disuguaglianza media aritmetica-media geometrica ed è la disuguaglianza di base più importante. Ti consiglio di guardartela, la trovi spiegata molto bene nei video di gobbino (come tutto del resto)

[mrossi]

Ah ok la disuguaglianza la conosco, non avevo associato le sigle.

Comunque non dovrei aver dimostrato anche il viceversa? Se per tutti i triangoli vale $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $, l'equazione della domanda si riferisce per forza a un triangolo equilatero in quanto solo in quel caso posso sostituire $ h_a $ con $ h_b $ eccetera

[Maioc92]

si ma chi ti dice che non esiste un altro tipo di triangolo in cui $ ah_b+bh_c+ch_a=6A $? Se riesci a dimostrare che $ ah_b=bh_c=ch_a=2A $ (cosa che appunto segue da AM-GM) allora puoi dirlo, altrimenti no.