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in un triangolo tre ceviane concorrenti forumano 6 angoli (col vertice in cumune nel punto di concorrenza), le bisettrici di questi sei angoli incontrano i lati del triangolo o il loro prolungamento in sei punti, dimostrare che se il punto di concorrenza è messo in maniera ragionevole (in modo che le bisettrici intersechino il lato o il suo prolungamento) si ottiene una conica generica, e in particolare trovare

- le condizioni per cui la conica è un cerchio
- le condizioni per cui è una parabola
- le condizioni per cui è un' ellisse
- le condizioni per cui è un' iperbole

EDIT: ho modificato il problema

come giustamente mi aveva fatto notare mattilgale tempo fa non si parla di ellisse ma di conica generica

finalmente sono riuscito a risolvere il problema con P interno al triangolo (con P esterno cambiano tutti gl angoli ma dovrebbe essere uguale)




innanzitutto uso questo bel teoremino:

Teorema di Carnot

se una conica interseca BC in X e X', CA in Y e Y' e AB in Z e Z' allora

$ \boxed{\displaystyle \frac{BX}{XC} \cdot \frac{BX'}{X'C} \cdot \frac{CY}{YA} \cdot \frac{CY'}{Y'A} \cdot \frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{AZ'}{Z'B}=1} $

e viceversa se vale la relazione allora i sei punti stanno su una conica



Dimostrazione


utilizzando più volte il teorema dai seni si ottiene:


$ \displaystyle \frac{BX}{XC} = \frac{PX \cdot \sin 1}{\sin b} \cdot \frac{\sin c'}{PX \sin{(1 + 2 + 2)}} = \frac{\sin 1 \cdot \sin c'}{\sin{(1 + 2 + 2)} \cdot \sin b} $

$ \displaystyle \frac{BX'}{X'C} = \frac{PX' \cdot \sin{(2 + 1 + 1)}}{\sin b} \cdot \frac{\sin c'}{PX' \sin2} = \frac{\sin{(2 + 1 + 1)} \cdot \sin c'}{\sin2 \cdot \sin b} $

$ \displaystyle \frac{CY}{YA} = \frac{PY \cdot \sin 3}{\sin c} \cdot \frac{\sin a'}{PY \sin{(3 + 1 + 1)}} = \frac{\sin 3 \cdot \sin a'}{\sin{(3 + 1 + 1)} \cdot \sin c} $

$ \displaystyle \frac{CY'}{Y'A} = \frac{PY' \cdot \sin{(1 + 3 + 3)}}{\sin c} \cdot \frac{\sin a'}{PY' \sin1} = \frac{\sin{(1 + 3 + 3)} \cdot \sin a'}{\sin1 \cdot \sin c} $

$ \displaystyle \frac{AZ}{ZB} = \frac{PZ \cdot \sin 2}{\sin a} \cdot \frac{\sin b'}{PZ \sin{(2 + 3 + 3)}} = \frac{\sin 2 \cdot \sin b'}{\sin{(2 + 3 + 3)} \cdot \sin a} $

$ \displaystyle \frac{AZ'}{Z'B} = \frac{PZ' \cdot \sin{(3 + 2 + 2)}}{\sin a} \cdot \frac{\sin b'}{PZ' \sin3} = \frac{\sin{(3 + 2 + 2)} \cdot \sin b'}{\sin3 \cdot \sin a} $



moltiplicando e ordinando, usando ceva trigonometrico e il fatto che $ \sin(2+1+1)=\sin(2+3+3) $ (perchè supplementari) e cicliche si ottiene:


$ \displaystyle \left ( \frac{\sin{a'} \cdot \sin{b'} \cdot \sin{c'}}{\sin{a} \cdot \sin{b} \cdot \sin{c}} \right )^2 \cdot \frac{\sin{1} \cdot \sin{2} \cdot \sin{3}}{\sin{1} \cdot \sin{2} \cdot \sin{3}} \cdot $$ \displaystyle \frac{\sin{(2+1+1)}}{\sin{(2+3+3)}} \cdot \frac{\sin{(1+3+3)}}{\sin{(1+2+2)}} \cdot \frac{\sin{(3+2+2)}}{\sin{(3+1+1)}} = 1 $


a voi le condizioni