OliForum Matematico

Nel 1997 nella stazione spaziale Mir si produsse un piccolo foro con l'esterno, a causa del quale la pressione interna passò dal valore iniziale di 750 mmHg a quello di 675 mmHg in 8 minuti.
a) si mostri che durante tale periodo la pressione interna diminuì con legge esponenziale.
b)Si stimi l'area del foro sapendo che il volume pressurizzato della stazione era 400m^3 e che la temperatura interna era di 24°C.

Supponiamo il foro circolare, piccolo e di area A. Supponiamo inoltre che la temperatura non cambi, il che sembra ragionevole. Consideriamo un piccolo intervallino di tempo dt. In questo intervallino di tempo usciranno un piccolo numero di moli dn attraverso il foro della nave. Questo numero sarà pari a quello contenuto nel cilindro di area A e altezza Vx*dt dove Vx è la velocità orizzontale media delle particelle.


Il numero di moli per unità di volume è P/RT e dunque abbiamo che dn=-Vx*A*dt*P/RT. [1]

La velocità quadratica media è (3RT/Massamolare)^(1/2). La velocità orizzontale media è dunque (RT/Massamolare)^(1/2), perchè supponiamo che le componenti x,y e z della velocità siano uguali e dunque 3*Vx^2=(Vel.quad.media)^2.

differenziando PV=nRT abbiamo che dPV=dnRT [2]

sostituendo dn dalla [2] alla [1] e mettendoci anche Vx si ottiene che dP=-Costante*P*dt. Questa è un'equazione differenziale, che riscriviamo dP/P=-Costante*dt, e integrando da entrambe le parti ed elevando si ottiene che P=Po*e^(-Costante*t) dove Po è la pressione iniziale.

Scusate se non so usare il Latex...

ciao

e per stimare l'area?

mm...non sono daccordissimo su come calcoli Vx...non dovrebbe entrare in gioco la legge di bernoulli?

per stimare l'area, hai la formula in funzione dell'area, basta che ricavi A e sostituisci

ah e bernoulli si può usare solo per i fluidi incomprimibili

Allora... posto la mia soluzione, che peraltro è molto simile se non uguale a quella di memedesimo, ma forse con il $ LA\TeX $ si capisce un pò meglio...
Cominciamo col dire che, se consideriamo la temperatura costante (il che è ragionevolissimo dal momento che la stazione è praticamente circondata da vuoto, nonostante al punto b del problema si dica che " la temperatura interna $ \textsl{era} $ di 24 C"), allora possiamo scrivere $ $dP=dn\frac{RT}{V}[1]$ $. Per calcolare $ $dn$ $, consideriamo il foro di area $ $A$ $, e il numero di moli che vi passano attraverso in un intervallo temporale infinitamente piccolo: esso sarà $ $dn=\frac{AV_{qm}Pdt}{3RT}[2]$ $. Infatti ci accorgiamo che il numero di molecole che passerà sarà il numero di molecole presenti nel cilindretto di volume $ $AV_{qm}dt$ $, ovvero $ $AV_{qm}dt\mu$ $, dove $ $\mu$ $ rappresenta il numero di moli per unità di volume, che possiamo esprimere come $ $\mu=\frac{P}{RT}$ $ grazie alla legge dei gas perfetti. Dividendo il risultato per $ $3$ $ (visto che, come al solito, consideriamo semplicisticamente le $ $V_{qm}$ $ dirette con uguale probabilità lungo i $ $3$ $ assi dello spazio), otteniamo appunto la formula già esposta. Combinando la $ $[1]$ $ con la $ $[2]$ $ e risistemando un pò otteniamo $ $\frac{dP}{P}=-\frac{V_{qm}A}{3V}dt[3]$ $. Integrando a sinistra in $ $dP$ $ e a destra in $ $dt$ $, otteniamo $ $ln(\frac{P_f}{P_0})=-\frac{V_{qm}At}{3V}[4]$ $, da cui $ $P_f=P_0e^{-\frac{V_{qm}At}{3V}}[5]$ $, dove $ $P_f$ $ è la pressione finale, e $ $P_0$ $ la pressione a $ $t=0$ $. Il punto a è quindi risolto. Per il calcolo dell'area partiamo dalla $ $[4]$ $ e, ricordandoci che $ $V_{qm}=\sqrt{\frac{3RT}{N_am}}$ $, scriviamo $ $A=\frac{V}{t}\sqrt{\frac{<A>}{RT}}ln(\frac{P_f}{P_0})[6]$ $, dove $ $<A>$ $ è il peso atomico dell'aria, che è uno dei dati dell'esercizio (non postati da mitchan ), e gli altri sono tutti elementi noti.
Dovrebbe essere fatto tutto bene, se non sbaglio... correggetemi se c'è qualche errore

Editato per dei meno mancanti

Dice che la temperatura era perché al momento del test la stazione era già bella che disintegrata in seguito al rientro programmato sulla Terra.

Uhm... hai ragione anche tu
Il solito sbadato ^^

memedesimo ha scritto:Supponiamo il foro circolare, piccolo e di area A. Supponiamo inoltre che la temperatura non cambi, il che sembra ragionevole. Consideriamo un piccolo intervallino di tempo dt. In questo intervallino di tempo usciranno un piccolo numero di moli dn attraverso il foro della nave. Questo numero sarà pari a quello contenuto nel cilindro di area A e altezza Vx*dt dove Vx è la velocità orizzontale media delle particelle.


Il numero di moli per unità di volume è P/RT e dunque abbiamo che dn=-Vx*A*dt*P/RT. [1]

La velocità quadratica media è (3RT/Massamolare)^(1/2). La velocità orizzontale media è dunque (RT/Massamolare)^(1/2), perchè supponiamo che le componenti x,y e z della velocità siano uguali e dunque 3*Vx^2=(Vel.quad.media)^2.

differenziando PV=nRT abbiamo che dPV=dnRT [2]

sostituendo dn dalla [2] alla [1] e mettendoci anche Vx si ottiene che dP=-Costante*P*dt. Questa è un'equazione differenziale, che riscriviamo dP/P=-Costante*dt, e integrando da entrambe le parti ed elevando si ottiene che P=Po*e^(-Costante*t) dove Po è la pressione iniziale.

Scusate se non so usare il Latex...

ciao

Esattamente uguale a me, solo che secondo me bisogna aggiungere un fattore (1/2) alla velocità Vx. Questo perchè il Vx che abbiamo calcolato è la velocità media sull'asse x delle molecole, e a noi interessa solo la metà delle molecole che si muovono verso il buco, e non quelle che si allontanano dal buco. Oppure, volendo, il fattore 1/2 lo metti dopo...

C'hai anche ragione...ok allora mettiamoci un fattore $ 1/2 $!

Grande ho provato senza guardare la soluzione e l'ho azzeccato al 100%, fattore 1/2 compreso!

Tra parentesi, in teoria il concorso sns dovrebbe essere aperto anche a studenti del classico e, per quanto semplice come problema di equazioni differenziali, che ne sanno loro poveretti? Credevo si potessero risolvere tutti con nozioni minime di analisi.

Vabbè avrebbero potuto integrare l'equazione facendo il limite di una sommatoria di una progressione geometrica, ma quanta fatica per un povero ragazzo a digiuno di analisi...