OliForum Matematico

Visto che l'algebra lineare va molto di moda in quest' ultimo periodo , posto il seguente problema:
Dimostrare che esiste un unica applicazione F che manda matrici quadrate in scalari di uno spazio vettoriale tale che sia:
1) multilineare
2)alternante
3)$ F(I) = 1 $
Trovare tale applicazione.

e come dice abate, poi potremmo volere che questa applicazione fosse lineare, e magari ci facesse anche il caffè...
(perdonatemi se non ricordo le parole esatte)

ma_go ha scritto:e come dice abate, poi potremmo volere che questa applicazione fosse lineare, e magari ci facesse anche il caffè...
(perdonatemi se non ricordo le parole esatte)

LOL. le perle dei professori universitari sono un bijou...

nessuno ?

Se per favore mi definisci multilineare e alternante ci potrei provare

multilineare: lineare nelle singole variabili, ovvero:$ f(..., am+bn, ...) = mf(..., a, ...)+nf(..., b, ...) $ in ogni variabile ( m ed n sono scalari )

alternante: consideriamo un applicazione$ f(a_1, ..., a_n), $se $ \displaymath a_i=a_j $ ( con $ i \neq j $) allora $ f(a_1, ..., a_n) = 0 $

Ok però prima hai definito come dominio le matrici, e ora nella definizione di multilineare parli di più variabili... potresti chiarire quali sono queste variabili?

una applicazione sulle colonne o sulle righe di una matrice ( intese logicamente come vettori )

Sia $ V $ uno spazio vettoriale di dimensione $ n $ allora lo spazio delle matrici può essere visto come $ V^n $. Siano ora $ e_i $ i vettori della base standard, allora supponendo che una tale $ F $ esita si dimostra che è unica sfruttando le proprietà:
$ \forall v_1,...,v_n\in V $ $ F(v_1,...,v_n)=F\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{1i}e_i,...,\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ni}e_i\right)= $$ \displaystyle\sum_{i_1,...,i_n=1}^{n}a_{1i_1}...a_{ni_n}F(e_{i_1},...,e_{i_n})= $
$ =\displaystyle\sum_{\sigma\in{S_{n}}}a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}F(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}) $$ =\displaystyle\sum_{\sigma\in{S_{n}}}sg(\sigma)a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}F(I)= $$ \displaystyle\sum_{\sigma\in{S_{n}}}sg(\sigma)a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)} $
A meno di "Orrori" negli indici così si dovrebbe provare l'unicità. Ho sfruttato nella terza uguaglianza una proprietà che andrebbe dimostrata, cioè che permutando i vettori nell'applicazione esce il segno della permutazione (o meglio della sua inversa...).

Stoppa2006 ha scritto:Ho sfruttato nella terza uguaglianza una proprietà che andrebbe dimostrata, cioè che permutando i vettori nell'applicazione esce il segno della permutazione (o meglio della sua inversa...).

Questa proprieta viene fuori dal fatto che l'applicazione e' multilineare ed alternante, in poiche in tali applicazioni permutando due variabili si cambia il segno dell'applicazione, applicando una permutazione dobbiamo moltiplicare la funzione per il segno della permutazione ( in quanto indica la parita' del numero di trasposizioni ).
Tranne che per questo fatto la tua dimostrazione e' identica alla mia ( d'altronde nn vedo un modo piu semplice per farlo ) inoltre se guardi l'espressione della funzione che hai ottenenuto ( cioe' $ \displaystyle\sum_{\sigma\in{S_{n}}}sg(\sigma)a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)} $ ) ti renderai facilmente conto che questa e' l'espressione che definisce il determinante di una matrice il che conclude la seconda parte del problema

Ps nn ho controllato gli indici perche e un po tardi e ho molto sonno...