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Ciao a tutti!
Spero di aver scelto la sezione giusta per postare il topic!

Facendo esercizi ho trovato un problema (di cui ho la soluzione del Prof) che non riesco a risolvere, o meglio, la mia soluzione è opposta alla sua ma non capisco cosa sbaglio... nè se a sbagliare in effetti sono io!

Comunque...

(per R^3 intendo lo spazio tridimensionale reale)

Provare o confutare: un omomorfismo phi : R^3 ---> R^3 tale che dim(im phi)=1 è necessariamente semplice.

Secondo me la tesi è confutata dal seguente controesempio:

phi(1,0,0) = (0,0,0)
phi(0,1,0) = (0,0,0)
phi(0,0,1) = (1,0,0)

gli autovalori della trasformazione sono a=0 con molteplicità m=3, mentre la matrice ha rango 1(per ipotesi), quindi non è soddisfatta la

n - rho(A-aI) = m

perchè n=3 e rho(A-aI)=1.

Grazie per l'aiuto!

ART

Il tuo prof invece che dice?

lui prova che è vero dicendo :

Se {(b,c,e)} è una base di im phi, si ha phi(b,c,e) = a(b,c,e) ;

a è quindi un autovalore non nullo e im phi un autospazio V1.

D' altra parte il nucleo, che è sempre un autospazio V2 , ha dimensione 2 e chiaramente si ha R^3 = V1 (somma diretta) V2.

Quindi phi è necessariamente semplice.

Io non sono d' accordo, ma non perchè è sbagliato quello che dice lui ma perchè non trovo nella teoria qualcosa che mi convinca di aver sbagliato.

ecco cosa non capivo. non mi ricordo cosa vuol dire "semplice"...

diagonalizzabile...

ART ha scritto:lui prova che è vero dicendo :

Se {(b,c,e)} è una base di im phi, si ha phi(b,c,e) = a(b,c,e) ;

a è quindi un autovalore non nullo e im phi un autospazio V1.

Questo è falso. Nessuno assicura che $ \phi(b,c,e)\neq0 $. Prendi ad esempio la tua applicazione: $ (1,0,0) $ genera $ \textrm{Im}\phi $ ma $ \phi(1,0,0)=0 $.

Inoltre, se fosse vera sta cosa e $ a\neq0 $ come afferma il tuo prof, allora
$ \dfrac{1}a\phi $ sarebbe una proiezione, ovvero $ \left(\dfrac{1}a\right)^2\phi\circ\phi=\dfrac{1}a\phi $.
In particolare, chiamando $ P_i $ la proiezione sulla i-esima coordinata e detta $ F $ una qualsiasi applicazione lineare di rango maggiore o uguale a 1, allora
$ P_i\circ F $ ha rango 1, quindi è multipla di una proiezione per quel detto sopra, ovvero, poichè l'immagine è lo span di $ e_i $ (i-esimo vettore di base), si ha
$ \dfrac{1}a_iP_i\circ F=P_i $
e dunque
$ \left(\dfrac{1}a_1P_1+\dfrac{1}a_2P_2+\dfrac{1}a_3P_3\right)F=I $
ovvero
$ F(x,y,z)=(a_1x,a_2y,a_3z) $
Quindi ogni applicazione lineare è diagonalizzabile...il che è falso.

In definitiva, hai ragione tu, non il tuo prof.